Решение практических задач по теме: «Различные виды уравнений прямой на плоскости»

П р и м е р 1. Построить прямые: а) 3 x – 2 y – 6 = 0;

б) 2 x – 5 y = 0;

в) 2 y – 1 = 0;

г) 3 x + 2 = 0;

д) 5 y = 0.

Решение. а) прямая пересекает обе координатные оси, т. к. в ее уравнении коэффициенты при текущих координатах х и у и свободный член не равны нулю. Приведем данное уравнение к уравнению в отрезках. Для этого свободный член перенесем вправо и обе части уравнения разделим на 6, т. е.

3 x – 2 y = 6 или .

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (5), замечаем, что а = 2, а b = – 3. На оси Ох от начала координат откладываем две единицы в положительном направлении, на оси Оу три единицы в отрицательном направлении. Через полученные точки проводим прямую.

б) прямая проходит через начало координат, т. к. ее уравнение не содержит свободного члена. Для построения найдем еще одну точку на этой прямой. Дадим одной из переменных в заданном уравнении произвольное значение, например х = 5 и из уравнения 2∙5 – 5∙у = 0 определим 5∙у = 10, у = 2. Через точки А (5; 2) и О (0; 0) проводим прямую.

в) Прямая параллельна оси Ох, т. к. ее уравнение не содержит текущей координаты х. Из уравнения прямой находим 2∙у = 1, и через точку параллельно оси Ох проводим прямую.

г) Так как в уравнении 3∙х + 2 = 0 или отсутствует текущая координата у, то прямая параллельна оси Оу и проходит через точку .

д) Прямая 5∙у = 0 или у = 0 совпадает с осью Ох, т. к. в уравнении отсутствуют свободный член и текущая координата х.

П р и м е р 2. Написать уравнения прямых изображенных на рисунке.

Решение. а) Найдем отрезки, отсекаемые этой прямой на осях координат. Из чертежа видно, что а = – 3, b = 2. Подставим эти значения в уравнение (5):

и после преобразований получим общее уравнение прямой

2∙х – 3∙у + 6 = 0.

б) Прямая проходит через начало координат. Ее уравнение имеет вид А∙х + В∙у = 0. Найдем коэффициенты А и В. Точка М (1; 3) лежит на этой прямой, поэтому ее коэффициенты удовлетворяют уравнению А∙х + В∙у = 0, т. е.

А∙1 + В∙3 = 0.

Отсюда следует, что А = – 3∙В.

Подставим это значение в уравнение А∙х + В∙у = 0 и получим

– 3 В х + В у = 0, – В (3 х – у) = 0.

Так как В  0, то, разделив обе части равенства на (– В), получим искомое уравнение

3 х – у = 0.

в) Прямая параллельна ос Ох, ее уравнение у = – 2.

г) Прямая параллельна оси Оу, ее уравнение х = 2.

П р и м е р 3. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b = – 3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол α = π/6.

Решение. Находим угловой коэффициент: k = tg (π/6) = . Воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом, получаем ; освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую часть, получаем общее уравнение прямой .

П р и м е р 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (– 1; 3) и В (2; 5).

Решение. Полагая х₁ = – 1, у₁ = 3, х₂ = 2, у₂ = 5 в уравнении (3), получаем

Итак, искомое уравнение имеет вид 2 х – 3 у + 11 = 0.

Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно показать, что координаты точек А и В удовлетворяют уравнению прямой. Действительно, равенства 2 (– 1) – 3∙3 + 11 = 0, 2∙2 – 3∙5 + 11 = 0 выполняются тождественно.

П р и м е р 5. Определить угол между прямыми:

Решение. Так как угловой коэффициент первой прямой равен k₂ = 2, а второй прямой – k₁ = , то угол между этими прямыми найдем по формуле

.

Следовательно, φ = arctg 0,75.

П р и м е р 6. Дан треугольник с вершинами А (– 2; 0), В (2; 4), С (4; 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты АD и найти длину медианы АЕ.

Решение. 1) Найдем уравнения прямых на которых лежат стороны треугольника, воспользовавшись уравнением прямой проходящей через две точки:

2) Чтобы найти уравнение прямой на которой лежит медиана АЕ, найдем координаты точки Е, которая является серединой отрезка ВС:

,

т. е. точка Е имеет координаты Е (3; 2).

Теперь найдем уравнение прямой

3) Найдем длину высоты АЕ как расстояние от точки А до точки Е:

.