§3. Кривые второго порядка

1. Окружность.

Уравнение окружности с центром в точке С (х₀, у₀) и радиусом R в декартовой системе координат имеет вид

(х – х₀)² + (у – у₀)² = R². (11)

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

х² + у² = R². (12)

Это уравнение называется каноническим (простейшим) уравнением окружности.

Параметрические уравнения окружности имеют вид

, (13)

где t – угол между положительным направлением оси Ох и радиусом текущей точки М (х, у) окружности, отсчитываемый против хода часовой стрелки.

В полярной системе координат окружность определяется одним из следующих уравнений:

1)
2) ρ = а sinφ.	4) ρ = а cosφ.
3) ρ = – а sinφ.	5) ρ = – а cosφ.

2. Эллипс. Эллипсом с центром симметрии в начале координат О (0; 0) называется кривая, уравнение которой в прямоугольной системе координат Оху имеет вид:

(14)

где a > 0 и b > 0 называются полуосями эллипса. Данное уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Если а > b, то ось 2а называется большой осью эллипса и лежит на оси Ох, а ось 2b – малой осью и лежит на оси Оу. Точки F₁ (– c; 0) и F₂ (c; 0), где , называются фокусами эллипса, соответственно левым

и правым; 2с – фокусным расстоянием. Точки с координатами (а; 0), (– а; 0), (0; b), (0; – b) называются вершинами эллипса.

Фокальное свойство эллипса

Для того чтобы точка М (х; у) принадлежала эллипсу (1) необходимо и достаточно, чтобы сумма расстояний от этой точки до фокусов эллипса F₁ и F₂ была постоянной и равнялась 2а, т. е.

|M F₁| + |M F₂| = 2a.

Если a < b, то уравнение (1) определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся на оси Оу в точках F₁ (0; – c) и F₂ (0; с), где . Его фокальное свойство:

|M F₁| + |M F₂| = 2b.

Если a = b, то каноническое уравнение эллипса примет вид х² + у² = а², которое соответствует окружности радиуса а с центром в начале координат. Таким образом, окружность является частным случаем эллипса.

Параметрические уравнения эллипса имеют вид:

Если центр симметрии эллипса лежит в точке С (х₀; у₀), то его каноническое уравнение имеет вид:

3. Гипербола. Гиперболой с центром в начале координат О (0; 0) называется кривая, уравнение которой в прямоугольной системе координат Оху имеет вид:

. (15)

где а > 0 – называется действительной полуосью и лежит на оси Ох, а b > 0 – мнимой полуосью гиперболы и лежит на оси Оу. Данное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Точки F₁ (– c; 0) и F₂ (c; 0), где , называются фокусами гиперболы, соответственно левым и правым; 2с – фокусным расстоянием. Точки с координатами (а; 0) и (– а; 0) называются вершинами гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Для того чтобы точка М (х; у) принадлежала гиперболе (2) необходимо и достаточно, чтобы разность расстояний от этой точки до фокусов гиперболы F₁ и F₂ по абсолютной величине была постоянной и равнялась 2а, т. е.

|M F₁| – |M F₂| = 2a.

Если a = b, то каноническое уравнение эллипса примет вид х² + у² = а², которое соответствует окружности радиуса а с центром в начале координат. Таким образом, окружность является частным случаем эллипса.

Определение 6. Гипербола, уравнение которой имеет вид

(16)

называется сопряженной гиперболе (2). Действительная ось этой гиперболы лежит на оси Оу и равна 2b, а мнимая – на оси Ох и равна 2а. Фокусы сопряженной гиперболы находятся на оси Оу в точках F₁ (0; – c) и F₂ (0; с), где .

Фокальное свойство гиперболы заданной уравнением (3):

|M F₁| – |M F₂| = 2b.

Замечание. При построении гиперболы целесообразно построить основной прямоугольник гиперболы, провести в нем диагонали и продолжить их за вершины прямоугольника.

Если а = b, то гипербола называется равносторонней.

Если центр гиперболы лежит в точке С (х₀; у₀), то ее каноническое уравнение имеет вид

,

а уравнение сопряженной гиперболы

.

4. Парабола. Параболой называется кривая, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид

у² = 2∙р∙х. (17)

где р > 0 называется параметром параболы. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Вершина ее лежит в точке О (0; 0). Точка называется фокусом, а прямая директрисой параболы.

Фокальное свойство параболы

Для того чтобы точка М (х; у) принадлежала параболе (4) необходимо и достаточно, чтобы расстояние от этой точки до фокуса параболы было равно расстоянию от этой же точки до директрисы параболы, т. е.

|MK| = |MF|.

Уравнения у² = – 2∙р∙х, х² = 2∙р∙у, х² = – 2∙р∙у (р > 0) также определяют следующие параболы:

Если вершина параболы лежит в точке С (х₀; у₀), то ее каноническое уравнение примет вид:

(у – у₀)² = 2∙р∙(х – х₀).

Общее уравнение кривой второго порядка

Уравнение А∙х² + В∙х∙у + С∙у² + D∙x + E∙y + F= 0, в котором А, В, С одновременно не равны нулю, называется общим уравнением кривой второго порядка.

В данном кратком курсе при рассмотрении общих уравнений кривых второго порядка ограничимся случаем, когда В = 0, т. е. рассмотрим уравнение кривой второго порядка без члена с произведением координат х и у:

А∙х² + С∙у² + D∙x + E∙y + F= 0.

Для того чтобы научиться определять какую кривую описывает данное уравнение, сформулируем теорему.

Т е о р е м а. Уравнение А∙х² + С∙у² + D∙x + E∙y + F = 0 всегда определяет:

– окружность, если А = С;

– эллипс, если АС > 0;

– гиперболу, если АС< 0;

– параболу, если АС = 0.

При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Некоторые другие кривые

Название	Уравнение	Кривая
1. Астроида.
2. Циклоида.
3. Кардиоида.	ρ = а (1 – cosφ).
	ρ = а (1 + cosφ).
	ρ = a (1 + sin φ).
	ρ = a (1 – sin φ).
4. Лемниската Бернулли.	ρ2 = а2sin 2φ.
	ρ2 = а2cos 2φ.
5. Четырехлепестковая роза	ρ = а соs 2φ.
	ρ = а sin 2φ.
6. Трехлепестковая роза	ρ = а соs 3φ
	ρ = а sin 3φ

Таблица понятий и формул по теме «Прямая на плоскости»

№	Понятие	Содержание, формула
1.	Угловой коэффициент прямой К.	Тангенс угла, образованного с положительным направлением оси Ох: k = tg α
2.	Общее уравнение прямой.	А∙х + В∙у + С = 0, где А, В, С – произвольные числа одновременно не равны нулю.
3.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом.	y = k∙x + b, k – угловой коэффициент прямой.
4.	Вычисление угла между прямыми y = k1∙x + b1 и y = k2∙x + b2.	где , – угловые коэффициенты соответствующих прямых.
5.	Условие параллельности двух прямых	k1∙= k2.
6.	Условие перпендикулярности двух прямых	k1∙k2∙= – 1 или .
7.	Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (х0; у0) с данным угловым коэффициентом.	(у – у0) = k∙(x – x0).
8.	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2).
9.	Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через две заданные точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2).
10.	Вычисление расстояния d от точки М0 (х0; у0) до прямой А∙х + В∙у + С = 0.	.