Упражнения для самостоятельного решения.
1. По данным векторам
и
построить векторы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
2. Найти проекции
вектора
на оси координат, если
,
А
(0; 0; 1), В
(3; 2; 1), С
(4; 6; 5), D
(1; 6; 3). Ответ:
.
3. Даны точки М
(1; 2; 3) и N
(3; – 4; 6). Найти длину и направление
вектора
.
Ответ:
.
4. Угол составляет с осями Ох и Оz углы 40º и 80º. Найти его угол с осью Оу. Ответ: β ≈ 52º или 128º.
5. Даны точки А
(2; 2; 0) и В
(0; – 2; 5). Построить вектор
и определить его длину и направление.
Ответ:
.
6. Вектор
составляет с осями координат равные
острые углы. Определить эти углы и
построить вектор
,
если длина равна
.
Ответ:
.
7. Определить угол
между векторами
и
.
Ответ:
135º.
8. Даны векторы
.
Найти
.
Ответ:
5.
9. Найти скалярное
произведение векторов
и
,
если
.
Ответ: – 96.
10. Найти вектор
коллинеарный вектору
и удовлетворяющий условию
.
Ответ:
{2; 4; – 6}.
11. При каком значении
λ векторы
и
взаимно перпендикулярны? Ответ:
– 5.
12. В треугольнике
АВС
вершины имеют координаты А
(1; 1; – 1), В
(2; 3; 1), С
(3; 2; 1). Найти: а) длины сторон; б) внутренние
углы; в) острый угол между медианой ВD
и стороной АС.
Ответ:
а) 3; 3;
;
б) ≈ 76º; 76º; 27º; в) ≈ 50º.
13. Упростить выражения:
а)
.
Ответ:
3.
б)
.
Ответ:
.
в)
.
Ответ:
.
14. Найти векторное
произведение векторов
и
.
Ответ:
.
15. Дано:
.
Найти
.
Ответ:
.
16. Найти площадь
треугольника с вершинами А
(2; 2; 2), В
(4; 0; 3) и С
(0; 1; 0). Ответ:
.
17. Даны два вектора
и
,
для которых
,
,
.
Найти: а)
;
б)
.
Ответ:
а) 6; б) 66.
18. Даны векторы:
и
.
Найти: а)
;
б)
.
Ответ:
а) {10; 10; 10}; б)
.
19. Даны векторы
.
Найти векторное произведение, синус
угла между ними, площадь параллелограмма
построенного на этих векторах. Ответ:
{–
40;
40;
20};
;
60.
20. Найти координаты
вектора
,
перпендикулярного оси аппликат и вектору
.
Вектор
образует острый угол с осью абсцисс;
.
Ответ:
{45; 24; 0).
21. Дано
,
,
.
Найти
.
Ответ:
30.
22. Найти единичный
вектор
,
перпендикулярный каждому из векторов
.
Ответ:
.
23. Вычислить
произведение
,
если
.
Ответ:
–10.
24. Показать, что
векторы
компланарны.
25. Показать, что точки А (5; 7; – 2), В (3; 1; – 1), С (9; 4; – 4), D (1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
26. Найти объем
параллелепипеда, построенного на
векторах
.
Ответ:
12.
27. Найти объем
треугольной призмы, построенной на
векторах
.
Ответ:
.
28. Найти высоту
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
опущенную на грань, построенную на
векторах
и
.
Ответ:
.
29. Вектор
перпендикулярен векторам
и
;
,
,
,
.
Найти
.
Ответ:
27.
30. Дан параллелепипед
АВСDA1B1C1D1,
построенный на векторах
.
Найти:
а) объем параллелепипеда; (Ответ: 12.)
б) площадь грани
АВСD;
(Ответ:
.)
в) длину высоты,
проведенной из вершины А;
(Ответ:
.)
г) угол между ребром
АВ
и диагональю ВD1.
(Ответ:
.)
31. Даны три вектора
.
Найти вектор
как линейную комбинацию векторов
,
,
.
Ответ:
.