Решение практических задач по теме «Линейные действия над векторами»
П р и м
е
р
1.
Даны координаты
двух
точек А
(1; 0;
–
1) и В
(1;
3;
3). Найти:
1.Координаты вектора
.
2. Модуль вектора
.
3. Направляющие
косинусы вектора
.
4. Синус угла между
вектором
и плоскостью хОу.
Решение.
1) Координаты
вектора
найдем с помощью формулы (4):
.
2) Модуль вектора
вычислим по формуле
.
В данной формуле
х,
у,
z
– координаты вектора
.
Следовательно,
.
3) Направляющие косинусы можно найти по формулам (3)
.
Следовательно,
.
4) Синус угла между
вектором
и плоскостью хОу
определим по формуле:
.
Ответ:
Решение практических задач по теме «Проекция вектора на ось. Скалярное и векторное произведение»
П р и м е р 2.
Заданы два вектора
и
.
Найти: 1. Координаты векторов
и
.
2. Скалярное
произведение векторов
и
.
3. Косинус угла
между векторами
и
.
4. Проекцию вектора
на вектор
и проекцию вектора
на вектор
.
5. Векторное
произведение векторов
и
.
6. Площадь и высоты
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Решение.
1) Координаты векторов
и
нетрудно найти, используя формулы (1):
.
Следовательно,
и
.
Следует заметить,
что векторы
и
геометрически представляют собой
диагонали параллелограмма, построенного
на данных векторах
и
.
2) Скалярное
произведение векторов
и
вычислим по формуле (5):
3) Косинус угла
между векторами
и
можно определить с помощью формулы (8)
4) Проекцию вектора
на вектор
найдем по формуле (
.
Аналогично вычислим
проекцию вектора
на вектор
.
.
5) Векторное произведение векторов вычислим по формуле (10):
6) Площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
определим, используя известный
геометрический смысл векторного
произведения. Отсюда искомую площадь
параллелограмма найдем по формуле (9):
(кв. ед)
Ответ: 1)
и
;
2) 12; 3) 0,48; 4) 2,4;
5)
;
6) 21,93 кв. ед.
Решение практических задач по теме «Линейная зависимость векторов. Смешанное произведение»
Пример 3.
Заданы векторы
,
и
.
Требуется:
1. Проверить,
компланарны ли векторы
,
,
.
2. Проверить,
коллинеарны ли векторы
,
.
3. Проверить,
ортогональны ли векторы
и
.
4. Найти
,
ортогональный векторам
и
.
5. Объем пирамиды,
построенный на векторах
,
и
.
6. Вектор
как линейную комбинацию векторов
,
и
.
Решение. 1) Компланарность векторов можно проверить с помощью смешанного произведения, т. е. по формуле (12):
.
Следовательно
векторы
,
,
не компланарны.
2) Коллинеарность
векторов проверим по формуле (10), но
сначала найдем координаты векторов
,
по формуле (1):
.
Аналогично найдем
:
.
Тогда
.
Следовательно
векторы
,
не коллинеарны.
3)
Ортогональность
векторов
и
проверим по формуле (6):
.
Значит векторы не ортогональны.
4) Найти
,
ортогональный векторам
и
можно по формуле:
,
где
.
Следовательно,
.
5) Объем пирамиды,
построенный на векторах
,
и
численно равен абсолютной величине
смешанного произведения этих векторов.
Поэтому
.
6) Для нахождения
вектора
как линейную комбинацию векторов
,
и
необходимо разложить его по данным
векторам как по базису. То, что векторы
,
и
образуют базис, уже показано, так как
смешанное произведение отлично от нуля.
Обозначим неизвестные
координаты вектора
в новом базисе – х,
у,
z.
Тогда для их нахождения имеем следующую
систему уравнений
,
где определитель матрицы системы равен 1.
Используем для решения системы уравнений формулу Крамера. Предварительно вычислим определители, полученные путем замены в определители А элементов первого столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов рассматриваемой системы:
,
,
.
Тогда по формулам Крамера получим:
или вектор
как линейная комбинация векторов нового
базиса имеет следующий вид
.