§3. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве

Определение 12. Пусть задана совокупность из n векторов и n чисел λ₁, λ₂, …, λ_п. Сумма произведений этих векторов на числа называется линейной комбинацией векторов, т. е.

Определение 13. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа λ₁, λ₂, …, λ_п.не все равные нулю, для которых имеет место равенство

Определение 14. Если данное равенство имеет место только при λ₁ = λ₂ = … = λ_n = 0, то векторы называются линейно независимыми.

Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации других.

Т е о р е м а 1. Для того чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарными.

Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Т е о р е м а 2. Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарными.

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса.

Определение 15. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых (не параллельных) вектора.

Пусть – любой вектор на плоскости, а векторы и образуют базис, т. е. линейно независимы. Так как на плоскости три вектора линейно зависимы, то вектор линейно выражается через векторы базиса, т. е.

= λ₁ + λ₂.

Если вектор представлен в таком виде, то говорят, что он разложен по базису, образованному векторами и . Числа λ₁, λ₂ называют координатами вектора в данном базисе.

Т е о р е м а 3. Разложение вектора по базису и является единственным.

Определение 16. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора (некомпланарны).

Как и в случае плоскости, любой вектор однозначно разлагается по векторам , , базиса, т. е. = λ₁ + λ₂ + λ₃. Числа λ₁, λ₂, λ₃ называются координатами вектора в данном базисе.

§4. Проекция вектора на ось

Пусть х – некоторая ось, – вектор, произвольно расположенный в пространстве. Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось х соответственно начала А и конца В этого вектора. Предположим, что А₁ на оси х имеет координату х₁, а В₁ – координату х₂.

Определение 17. Разность х₂ – х₁ между координатами проекций конца и начала вектора на ось х называется проекцией вектора на эту ось и обозначается .

Если вектор образует с осью х острый угол, то ; если угол между осью х и вектором –

тупой, то . Наконец, если  х, то х₂ = х₁ и .

Основные теоремы о проекциях

Т е о р е м а 4. Проекция вектора на ось х равна модулю вектора , умноженному на косинус угла φ между вектором и осью .

Т е о р е м а 5. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т. е.

.

Т е о р е м а 6. Если вектор умножить на число λ, то его проекция на ось так же умножится на это число: .