Глава 3 Векторная алгебра

§ 1. Определение вектора

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Например, температура в данной точке, концентрация раствора, площадь, длина, объем и т.д.

Величина, которая характеризуется величиной и направлением, называется векторной. Например, скорость тела, движущегося по кривой, сила, момент силы и т.п.

Определение 1. Геометрическими векторами, или просто векторами, называются направленные отрезки, т. е. отрезки прямых, для которых заданы, каким-то образом, их длина и направление.

Векторы обозначаются:

Определение 2. Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными.

Обозначают: – коллинеарные векторы; – коллинеарные и одинаково направлены; – коллинеарные и противоположно направлены.

Определение 3. Длина вектора называется его модулем.

Обозначают: .

Определение 4. Векторы называются равными, если они имеют равные модули, коллинеарные и одинаково направленные, т. е.

 .

Если же хотя бы одно из трех условий не выполняется, то векторы не равны.

Векторы, величина и направление которых не изменятся от перемещения их параллельно самим себе, называются свободными.

Векторы, величина и направление которых зависит от точки приложения, называются связными.

Далее изучаются только свободные векторы.

Свободные векторы можно:

а) приводить к общей точке; б) выстроить один за другим.

§ 2. Линейные действия над векторами

Линейными действиями называются операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на скаляр.

Определение 5. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором или нулем и обозначается . Модуль нулевого вектора равен нулю, а направление не определено.

Определение 6. Суммой векторов называется вектор, обозначаемый , построенный по правилу: если векторы выстроить один за другим, то вектор идущий из начала в конец будет искомой суммой .

Это правило называется правилом треугольника.

Легко показать, что сумма двух неколлинеарных векторов совпадает с вектором, определяемым диагональю параллелограмма, построенного на представителях слагаемых, как на сторонах (правило параллелограмма).

Определение 7. Если два вектора имеют равные модули, коллинеарны, но противоположно направлены, то они называются противоположными.

Вектор противоположный вектору обозначается

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. – переместительности (коммутативности);

2. – сочетательности (ассоциативности);

3. .

Определение 8. Разностью векторов и называют сумму векторов и , при этом пишут .

Геометрически разность находится так: векторы и приводятся к общему началу, тогда вектор идущий из

конца вектора в конец вектора и будет .

Определение 9. Произведением вектора на число (скаляр) λ≠0 называется вектор λ, такой что:

1. длина вектора λ равна произведению длины вектора на абсолютную величину числа λ:

|λ∙|=|λ|∙||;

2) направление λ совпадает с направлением вектора , если λ > 0, или противоположно ему, если λ < 0: λ↑↑, λ > 0; λ↑↓, λ < 0.

λ > 0, |λ| > 1. µ < 0, |µ| < 1.

Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

1) сочетательности относительно числового множителя: µ∙(λ∙)= (µ∙λ) .	2) распределительности относительно суммы векторов: λ(+)=λ+λ.
3) распределительности относительно суммы чисел: ∙(λ + µ) = λ + µ.	4) при натуральном n: п∙ = .
5) λ∙ = .	6) 0∙ = .
7) (– 1) = – .	8) .

Определение 10. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор, коллинеарный вектору , одинаково с ним направленный, но имеющий длину, равную единице. Обозначим этот вектор через , тогда .

Из определения операции умножения вектора на число, следует, что , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления.

Определение 11. Векторы, лежащие на одной плоскости или на параллельных плоскостях называются компланарными.