Практическое занятие №6 формула полной вероятности повторные независимые испытания
Цель: Формирование навыков решения задач с использованием формул полной вероятности и теоремы Бейеса. 2) Решение задач по теме «Повторные независимые испытания».
Контрольные вопросы
1. Формула полной вероятности. Гипотезы.
2. Формула Бейеса.
3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число.
4. Локальная теорема Лапласа.
5. Формула Пуассона.
Пример 6.1.
В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% – из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.
Решение:
Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы H1 – деталь изготовлена цехом I. H2 – II цехом. События H1 и H2 – образуют полную группу
;
.
– условная
вероятность события А
при условии гипотезы H1.
– условная
вероятность события А
при условии гипотезы H2.
По формуле полной вероятности:
.
Пример 6.2.
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что она была с оптическим прицелом?
Решение:
Интересующее нас
событие
– стрелок поразил мишень. Нам необходимо
найти вероятность того, что мишень была
поражена из винтовки с оптическим
прицелом
.
Воспользуемся теоремой Бейеса:
Здесь
– гипотеза, которая заключается в том,
что была выбрана винтовка с оптическим
прицелом,
;
– гипотеза, которая заключается в том,
что была выбрана винтовка без оптического
прицела,
.
Условные вероятности равны:
,
.
.
Пример 6.3.
Футболист выполняет пенальти. Вероятность того, что он забьет гол равна 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 5 пенальти данный футболист забьет 3 мяча.
Решение:
Воспользуемся формулой Бернулли:
Найдем сначала
число сочетаний:
.
Пример 6.4.
Найти вероятность
того, что событие
наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях,
если вероятность появления этого события
в каждом испытании равна 0,25.
Решение:
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
,
.
,
,
,
.
.
Найдем значение
аргумента
.
По таблице находим
.
Искомая вероятность равна:
.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная.
6.2. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется нестандартной?
6.3. Имеются три одинаковых урны с шарами. В первой урне содержатся три черных и один белый шар, во второй – один черный и два белых, в третьей – пять белых и два черных шара. Наугад выбирают одну из урн и из нее вынимают белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны. Выбор урны считать равновероятным.
6.4.
Турист может пообедать в 3 столовых
города. Вероятность того, что он отправится
к первой столовой
,
ко второй –
и к третьей –
.
Вероятность того, что эти столовые
закрыты следующие: первая –
;
вторая –
и третья –
.
Турист пришел в одну из столовых и
пообедал. Какова вероятность того, что
он направился ко второй столовой.
6.5. Завод выпускает три типа предохранителей для магнитофона. Доля каждого из них в общем объеме составляет: 30%; 50% и 20% соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8; второго – 0,9; третьего – 0,85. Выбранный произвольно предохранитель не сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к первому типу?
6.6. В следственном изоляторе находятся 8 правонарушителей, задержанных за хулиганство, 12 за кражу и 5 за мошенничество. Вероятность того, что правонарушителя отпустят под залог для первого вида правонарушителей равна 0,75; для второго – 0,5; для третьего – 0,25. Правонарушителя выпустили под залог. Какова вероятность того, что он был задержан за мошенничество.
6.7. Вероятность взрыва при химической реакции равна 0,05. Найти вероятность того, что в серии из 7 синтезов взрыв произойдет 3 раза.
6.8.
Игральный кубик бросается 6 раз. а) Найти
вероятность того, что шестерка выпадет
2 раза; б) наивероятнейшее число
.
6.9.
Найти вероятность того, что событие
наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если
вероятность появления этого события в
каждом испытании равна 0,6.
6.10. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет 350.
6.11. Вероятность ДТП на данном участке дороги в течение суток равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 25 суток на данном участке произойдет одно ДТП. При расчетах использовать формулу Пуассона.
6.12. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что брошюровка неправильная, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
Домашнее задание: 1) Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)
2) Согласно учетным данным, рецидивисты составляют 60% от общего числа установленных правонарушителей. Органы правопорядка задержали 8 нарушителей. Какова вероятность того, что среди задержанных трое рецидивистов?
3) Лекции №8 и №9.