Розв’язання

а) , маємо: . Отже, необхідна умова збіжності цього ряду виконується, але цей ряд розбіжний, оскільки

;

.

б) , маємо:

.

Отже, необхідна умова збіжності не виконується, тому ряд б) розбіжний.

2. Достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів Порівняльні ознаки

Перша ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність ряду

. (3)

Візьмемо відомий збіжний числовий ряд

. (4)

Якщо члени ряду (3) не перевищують відповідних членів ряду (4):

..., то ряд (3) збігається і його сума не перевищує суму ряду (4).

Друга ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність ряду (3). Візьмемо відомий розбіжний числовий ряд.

(5)

Якщо члени ряду (3) не менше відповідних членів ряду (5): ......, то і ряд (3) розбіжний.

Приклад 4. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання

Розглянемо допоміжний ряд , який є рядом геометричної прогресії із знаменником і тому збіжний.

Оскільки члени заданого ряду не перевищують відповідних членів допоміжного ряду (їх знаменники більші), то за першою ознакою порівняння заданий ряд також збігається.

Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного числового ряду існує

, (6)

то при ряд збігається, а при ряд розбігається.

Зауваження 1. Якщо стала Даламбера D = 1, то за цією ознакою неможливо визначити збіжність або розбіжність ряду.

Зауваження 2. Ознака Даламбера використовується часто, особливо вона ефективна у випадках, коли загальний член ряду містить

Приклад 5. Дослідити збіжність рядів.

а)

Розв’язання

Застосуємо до кожного ряду ознаку Даламбера.

а) .

Отже, ряд а) розбігається.

Радикальна ознака Коші. Якщо для додатного числового ряду існує

(7)

то при ряд збігається, а при ряд розбігається.

Зауваження 3. Радикальна ознака Коші найчастіше використовується у випадках, коли загальний член ряду містить n в основі та в показнику степеня.

Приклад 6. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання.

Знайдемо сталу Коші:

.

За радикальною ознакою Коші заданий ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші. Нехай треба дослідити збіжність ряду , де . Розглянемо невластивий інтеграл , в якому підінтегральна функція одержана шляхом заміни аргументу n на аргумент х в функції f(n).

Якщо невластивий інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається. Якщо невластивий інтеграл розбігається, то числовий ряд також розбіжний.

Зауваження 4. Інтегральна ознака Коші є найбільш сильною ознакою. Цю ознаку використовують у випадках, коли не працюють ознака Даламбера (D = 1) та радикальна ознака Коші (K= 1).

Приклад 7. Дослідити збіжність узагальненого гармонічного ряду

.