Розв’язання

Застосуємо інтегральну ознаку Коші. Оскільки , то . Розглянемо невластивий інтеграл

Отже, невластивий інтеграл та заданий ряд збіжні при і розбіжні при .

3. Знакозмінні числові ряди

Означення 3. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченну кількість як додатних, так і від’ємних членів. Ряд, члени якого по черзі мають додатний та від’ємний знаки, називають знакопереміжним.

Поняття абсолютної та умовної збіжності ряду.

Означення 4. Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення 5. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Для виявлення умовної збіжності знакопереміжного ряду використовують наступну ознаку.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини членів знакопереміжного ряду монотонно спадають і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю при , то ряд збігається, причому абсолютна величина його суми не перевищує абсолютної величини першого члена ряду.

Приклад 9. Дослідити збіжність рядів:

а) ;

Розв’язання

Ряд а) – знакозмінний, оскільки

Розглянемо ряд , складений з абсолютних величин членів ряду. Цей ряд є узагальненим гармонічним рядом з показником степеня , тому він збіжний. За означенням це означає, що ряд а) абсолютно збіжний.

Властивості збіжних рядів

На абсолютно збіжні ряди переносяться усі властивості сум скінченної кількості доданків. Особливе значення має властивість перестановки: сума абсолютно збіжного знакозмінного ряду не змінюється від будь-якої перестановки скінченної множини його членів.

В умовно збіжному ряді не можна переставляти члени, оскільки у випадку їх перестановки може змінюватися сума ряду або утворитися розбіжний ряд.

Ііі. Функціональні ряди

1. Функціональні ряди, загальні поняття

Означення 1. Ряд називається функціональним, якщо його члени є функціями, наприклад х, тобто ряд має вигляд

(1)

Наприклад, ряд

є функціональним, причому його члени є функціями t, визначеними для усіх .

Якщо є фіксованим числом, то при ряд (1) перетворюється в числовий ряд , який може бути збіжним або розбіжним.

Якщо числовий ряд збігається, то точку називають точкою збіжності функціонального ряду (1). Якщо числовий ряд розбіжний, то називають точкою розбіжності функціонального ряду.