Розв’язання

Задано рівняння з відокремленими змінними, тому загальний розв’язок цього рівняння знайдемо шляхом інтегрування.

Одержимо:

при та однакового знаку.

Остання рівність є загальним інтегралом заданого диференціального рівняння. Якщо розв’язати цю рівність відносно шуканої функції у, то одержимо загальний розв’язок у вигляді .

Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

. (3)

називають рівнянням з відокремлюваними змінними.

Загальний розв’язок такого рівняння знаходять шляхом зведення його до рівняння з відокремленими змінними

і подальшим інтегруванням.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання

Для визначення типу заданого диференціального рівняння першого порядку запишемо його у такому вигляді:

.

Отже, задане рівняння має вигляд (7), тобто воно є рівнянням з відокремлюваними змінними. Приведемо це рівняння до вигляду рівняння з відокремленими змінними шляхом його ділення на .

Одержимо:

.

Інтегруючи маємо:

.

Отже, загальним інтегралом заданого рівняння буде

.

Означення 3. Однорідним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду:

, (4)

де функція не змінюється при заміні х та у на та , тобто задовольняє умову

. (5)

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку шляхом підстановки

(6)

зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання

Задане рівняння першого порядку однорідне тому, що воно має вигляд (8) і виконується умова (9):

.

Застосуємо підстановку (5). Тоді

.

Тоді задане рівняння набуде вигляду

.

Останнє рівняння є рівнянням з відокремленими змінними, інтегруючи його, знаходимо:

.

Підставимо замість U відношення . Тоді загальний інтеграл заданого рівняння матиме вигляд:

.

Якщо розв’язати цю рівність відносно шуканої функції у, то одержимо загальний розв’язок:

.

Означення 5. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна привести до вигляду

. (7)

Це рівняння містить у та у першому степені. Його загальний розв’язок можна знайти за формулою:

, (8)

яка дуже часто використовується.

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання

Задано лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Щоб одержати рівняння у вигляді (7) поділимо це рівняння на х і одержимо:

.

Маємо: ; . За формулою (12) знаходимо загальний розв’язок:

Один із методів інтегрування лінійного диференціального рівняння першого порядку – метод Бернуллі, який полягає у відшуканні розв’язку у вигляді , де − невідомі функції, причому одна з них довільна.

Оскільки , то рівняння набуває вигляду або .

Користуючись довільністю вибору функції , доберемо її так, щоб ; тоді . Відокремлюючи в першому рівнянні змінні та інтегруючи його, знаходимо якийсь його частинний розв’язок, наприклад, .

Знаючи функцію , з другого рівняння знаходимо функцію

.

Отже, загальним розв'язком заданого рівняння буде

.

Зауважимо, що при інтегруванні конкретного лінійного диференціального рівняння доцільно виконати всі наведені операції, а не користуватися останньою формулою.