2. Похідні та диференціали функції кількох змінних

Якщо у функції кількох змінних u = f(x₁, x₂, …, x_n) змінна x_k (k = 1,2,…,n) одержить приріст х_k, а усі інші незалежні змінні – фіксовані, тоді функція отримає частинний приріст

х_k u = f(x₁, x₂, …, x_k + х_k, …, x_n) – f(x₁, x₂, …, x_k, …, x_n) за аргументом х_k.

Означення 7. Якщо існує границя , що не залежить від способу прямування х_k  0, тоді її називають частинною похідною першого порядку функції u = f(x₁, x₂, …, x_n) по змінній х_k (k = 1,2,…,n) і позначають:

або або .

Отже, за означенням частинна похідна першого порядку буде:

Зауваження:

Позначення похідної першого порядку означає, що функція u залежить лише від однієї змінної x_k.

Тому в частинних похідних треба писати літеру "".

При знаходженні частинної похідної по змінній x_k усі інші аргументи функції слід вважати постійними величинами і тому можна використовувати правила диференціювання та таблицю похідних функцій однієї змінної.

Частинну похідну функції за напрямком вектора знаходять за формулою:

де напрямні косинуси вектора :

.

Якщо , або ,то координати вектора l будуть його напрямними косинусами.

Напрям найбільшої швидкості зміни функції співпадає з напрямом вектора (його називають градієнтом u)

а величина цієї найбільшої швидкості дорівнює довжині вектора , тобто

Приклад 7. Знайти градієнт функції у точці і похідну за напрямком

Розв’язання:

Знаходимо значення похідних функції u у точці :

Тоді,

Напрямні косинуси вектора будуть

Отже,

3.Повний приріст та повний диференціал функції

Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та.

Візьмемо в цій області D довільну точку та знайдемо відповідне значення функції потім дамо приріст обом аргументам і підрахуємо значення функції в точці . Отже, ми одержимо приріст функції , який називають повним приростом функції в точці

Означення 8. Головна, лінійна відносно та частина повного приросту функції називається повним диференціалом функції і позначається dz або .

Отже, повний диференціал функції двох змінних знаходять за формулою

Оскільки тому

Остання формула дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних.

4 Частинні похідні вищих порядків.

Означення 9. Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку функції по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінних таі позначають:

або при

або при

У випадку функції двох змінних маємо

Якщо мішані частинні похідні другого порядку неперервні, тоді

тобто мішана частинна похідна другого порядку не залежить від порядку диференціювання функції.

Аналогічно визначають частинні похідні порядку .

8. Диференціальні рівняння першого порядку

В практичній діяльності найчастіше використовуються диференціальні рівняння першого порядку наступних типів: з відокремленими змінними, з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні та Бернуллі.

Означення 1. Диференціальне рівняння першого порядку називають рівнянням з відокремленими змінними, якщо воно має вигляд

. (1)

В цьому рівнянні коефіцієнтом при є функція, яка залежить лише від або стала величина, а коефіцієнтом при − функція, яка залежить лише від у або стала величина.

Загальний розв’язок рівняння з відокремленими змінними знаходять шляхом його інтегрування, тобто за формулою:

. (2)

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння