І. Довідковий матеріал та методичні вказівки до розв’язування задач

1. Елементи лінійної алгебри.

Визначником квадратної матриці другого порядку

називається число, яке знаходиться за наступним правилом:

. (1)

Визначником квадратної матриці третього порядку

називається число, яке знаходиться за наступним правилом:

(2)

Для обчислення визначників зручно користуватися наступною їх властивістю: визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:

(3)

В даному випадку визначник розкладено за елементами першого рядка.

Приклад 1. Обчислити визначник

.

Розв’язання. По формулі (3) знаходимо:

Квадратна матриця виду

називається одиничною. Легко переконатися, що і

Матриця називається оберненою по відношенню до матриці , якщо .

Має місце теорема існування і єдиності оберненої матриці: Обернена матриця існує (і єдина) тоді і тільки тоді, коли .

Для обчислення оберненої матриці обчислюють алгебраїчні доповнення елементів матриці , тоді

. (4)

Нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(5)

Головним визначником даної системи називається визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих

. (6)

Якщо , то система має єдиний розв’язок, який може бути знайдено за правилом Крамера:

(7)

Тут

, , .

В матричній формі система рівнянь (5) має вигляд:

(8)

де

, , .

Розв’язок цієї системи

. (9)

Приклад 2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

а) за правилом Крамера; б) методом матричного числення.

Розв’язання.

Головний визначник системи

.

Оскільки   0, то система має єдиний розв'язок. Далі обчислюємо

;

;

.

За формулами Крамера дістанемо:

В матричній формі дана система рівнянь має вигляд де

, , .

Розв’язок системи .

Для знаходження оберненої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів матриці :

Тоді обернена матриця

,

а розв’язок системи рівнянь

Таким чином,

2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.

Нехай дано вектори Тоді операції над векторами здійснюються за правилами:

1. Модуль вектора . (13)

2. Сума (різниця) векторів . (14)

3. Скалярний добуток , де - кут між векторами;

. (15)

4. Векторний добуток . (16)

5. Мішаний добуток . (17)

Косинус кута між двома векторами і знаходиться за формулою

. (18)

Проекція вектора на напрямок вектора дорівнює

. (19)

Умова перпендикулярності двох векторів: два ненулевих вектори взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Геометричний зміст модуля векторного добутку: модуль векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах як на сторонах.

Геометричний зміст модуля мішаного добутку: модуль мішаного добутку трьох векторів чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на ребрах.

Нормальним вектором площини називається будь-який вектор , який перпендикулярний до даної площини.

Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно до вектора , має вигляд

. (20) Загальне рівняння площини

. (21)

Напрямним вектором прямої називається будь-який вектор, який лежить наданій прямій або на паралельній прямій.

Канонічні рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно заданому вектору мають вигляд

. (22)

Умова паралельності двох площин має вигляд

; (23)

умова перпендикулярності двох площин

; (24)

умова паралельності двох прямих

; (25)

умова перпендикулярності двох прямих

; (26)

умова паралельності прямої і площини

; (27)

умова перпендикулярності прямої і площини

. (28)

Приклад1. Дано координати чотирьох точок А₁(2; 0; -3), А₂(3; -2; 1), А₃(4; 2; 1), А₄(0; 2; -1). Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку А₄ перпендикулярно до площини, що проходить через точки А₁, А₂, А₃.

Розв’язання. В площині трикутника А₁А₂А₃ побудуємо вектори (рис. 1)

A₁A₂={1; -2; 4}, A₁A₃={2; 2; 4},

Нормальний вектор цієї площини (який є напрямним вектором шуканої прямої)

Рис. 1

Отже, шукані канонічні рівняння прямої мають вигляд

.

3. Похідна.

Нехай дано функцію .Різниця називається приростом аргумента x в точці x₀. Аналогічно, різниця називається приростом функції в точці x₀.

Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля, називається похідною функції в даній точці :

.

Для знаходження похідних звичайно використовують таблицю основних похідних та правила диференціювання.