8.2 Модель инвестиций с издержками регулирования

Перейдем к модели инвестиций с издержками регулирования. Для определенности, предположим, что издержки регулирования являются внутренними. Однако нетрудно дать другую интерпретацию модели, учитывающую внешние издержки регулирования². Получаемые из модели выводы называют q-теорией инвестиций.

Предположения

Рассмотрим отрасль, состоящую из одинаковых фирм. Реальная прибыль репрезентативной фирмы без учета каких-либо издержек приобретения и освоения капитала в момент времени пропорциональна ее капиталу и убывает с ростом капитала в отрасли . Таким образом, функция прибыли имеет вид , где . Предположение, что прибыль фирмы пропорциональна ее капиталу является оправданным в случае, когда производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба, рынок конечной продукции конкурентен и предложение остальных факторов производства (за исключением капитала) является абсолютно эластичным. В данных предположениях, если одна фирма имеет, например, вдвое больше капитала, чем другая, она также нанимает вдвое больше других факторов. В результате ее издержки и выручка также вдвое выше³. И, наконец, предположение, что прибыль фирмы убывает с ростом капитала в отрасли, является оправданным, если кривая спроса на продукцию отрасли имеет отрицательный наклон.

Ключевой предположением является наличие издержек регулирования капитала. Издержки регулирования являются выпуклой функцией переменной - скорости изменения капитала фирмы. Предполагается, что функция издержек регулирования обладает следующими свойствами: , и . Т.е., фирма несет издержки при увеличении или снижении своего капитала, причем предельные издержки регулирования тем больше, чем масштабнее приспособление.

Капитальные блага покупаются по постоянной цене, равной 1, так что существуют только внутренние издержки регулирования. В завершении, предположим для простоты, что норма выбытия капитала равна 0, и , где - инвестиции фирмы.

Задача фирмы для версии модели в дискретном времени

Введенные предположения означают, что в каждый момент времени прибыль фирмы определяется как . Фирма максимизирует интегральную приведенную прибыль

(8.6)

Для простоты здесь предполагается, что реальная ставка процента постоянна. Каждая фирма рассматривает траекторию капитала в отрасли, , как заданную, и, учитывая ее, находит траекторию собственных инвестиций, максимизирующую .

Для решения поставленной задачи оптимизации необходимо использовать вариационное исчисление. Чтобы лучше понять этот метод, удобнее рассмотреть вначале версию модели в дискретном времени. ⁴ В данном случае динамика капитала фирмы представлена уравнением , а функция издержек регулирования имеет вид . Тогда целевая функция фирмы

(8.7)

Мы можем считать, что фирма в каждый момент времени принимает решение относительно своих инвестиций и капитала, которые связаны бюджетным ограничением . Поскольку имеется бесконечно много периодов, имеется также и бесконечно много ограничений. Функция Лагранжа для задачи фирмы записывается в виде:

(8.8)

Здесь - множитель Лагранжа, ассоциированный с ограничением, связывающим и . Он характеризует предельную стоимость ослабления бюджетного ограничения. Другими словами, он определяет приращение интегральной приведенной прибыли фирмы, вызванное экзогенным увеличением на единицу. Определим новую переменную ; она задает оценку дополнительной единицы капитала в момент времени в ценах периода . ⁵ Используя это обозначение, мы можем переписать функцию Лагранжа в виде:

(8.9)

Запишем условие первого порядка для оптимального выбора инвестиций в момент времени :

(8.10)

Умножая это равенство на , получаем:

(8.11)

Чтобы проинтерпретировать данное условие, заметим, что издержки наращивания капитала на единицу равны цене, по которой эта единица капитала приобретается (равной, по предположению, 1), плюс предельные издержки регулирования. Уравнение (8.11) показывает, что фирма инвестирует до тех пор, пока издержки единичного наращивания капитала не сравняются с его оценкой.

Теперь рассмотрим условие первого порядка для капитала в момент времени . Правая часть (8.9) содержит под знаком суммы как , так и . Следовательно, капитал в момент времени , , должен встречаться в компоненте суммы, как для момента времени , так и момента времени . Значит, условие первого порядка для имеет вид:

(8.12)

Умножая полученное выражение на и преобразуя, получаем:

(8.13)

Если определить , то можно переписать правую часть (8.13) в виде , или . В конечном итоге получается, что

(8.14)

В левой части (8.14) стоит предельный доход от капитала, а в правой части стоят альтернативные издержки дополнительной единицы капитала. Можно дать следующее интуитивное объяснение: обладание единицей капитала на протяжении определенного периода связано с отказом от возможного реального процентного дохода и с получением прибыли от капитала (см. выражение [8.4] при нулевой норме выбытия; в [8.14] присутствует также произведение и , которое отсутствовало бы в случае непрерывного времени). В соответствии с (8.14) фирма действует оптимально, когда отдача на капитал равна соответствующим альтернативным издержкам. Данное условие аналогично условию в модели без учета издержек регулирования капитала, которое требует равенства предельного дохода от капитала цене его аренды в точке оптимума^*.

Еще одно условие характеризует поведение фирмы, когда время стремится к бесконечности. Предположим вначале, что фирма имеет конечный временной горизонт . Оптимальное поведение фирмы исключает возможность владения в момент времени капиталом со строго положительной приведенной стоимостью. В противном случае, существовала бы возможность увеличить интенгральную приведенную прибыль, просто снижая этот капитал. Приведенная стоимость капитала фирмы в момент времени равна ,значит, данная величина не может быть строго положительной. С другой стороны, ни один из трех компонентов этой величины, , и , не может быть строго отрицательным: более высокий капитал не может снижать будущую прибыль, нельзя владеть отрицательным запасом капитала, и положительно по предположению. Таким образом, величина не может быть строго отрицательной. Но тогда

(8.15)

Аналог данного условия для случая бесконечного временного горизонта имеет вид:

(8.16)

Условие (8.16) называют условием трансверсальности. Оно требует, чтобы приведенная стоимость капитала фирмы стремилась к нулю. Если данное условие не соблюдается, то, грубо говоря, фирма вечно держит капитал с ненулевой стоимостью. Снижая его, фирма может увеличить приведенную стоимость своей прибыли. ⁶

Случай непрерывного времени

Теперь мы можем перейти к рассмотрению версии модели в непрерывном времени. Условия максимизация прибыли фирмы в данном случае будут аналогичны условиям (8.11), (8.14) и (8.16) для случая дискретного времени. На самом деле, условия оптимального поведения в непрерывном времени могут быть выведены из условий для дискретного случая путем разбиения времени на интервалы длины с последующим предельным переходом. Однако мы не воспользуемся данным методом. Вместо этого, по аналогии со случаем дискретного времени, мы объясним как найти условия первого порядка и докажем их необходимость.

Задача фирмы теперь будет состоять в максимизации целевой функции (8.6) в непрерывном времени, вместо максимизации (8.7) в дискретном времени. На первом шаге анализа необходимо записать гамильтониан в ценах периода t:

(8.17)

Данное выражение записывается аналогично соответствующей компоненте функции Лагранжа в дискретном времени для момента времени (при этом только отсутствует член, характеризующий приращение капитала, см. [8.9]). Данная задача имеет свою стандартную терминологию. Переменная, которой можно свободно управлять, , называется переменной управления. Переменная, значение которой в каждый момент времени определяется предшествующими решениями, , называется переменной состояния. Теневая цена переменной состояния носит название сопряженной переменной.

Первое условие оптимальности требует, чтобы производная гамильтониана по переменной управления равнялась нулю в каждый момент времени. Это условие аналогично соответствующему условию в задаче с дискретным временем, которое требовало равенства нулю производной функции Лагранжа по для любого . В непрерывном времени условие, аналогичное (8.11), записывается в виде:

(8.18)

Второе условие состоит в следующем: производная гамильтониана по переменной состояния должна равняться произведению нормы дисконтирования и сопряженной переменной за вычетом производной сопряженной переменной по времени. В рассматриваемой задаче это выглядит так:

(8.19)

Данной условие аналогично (8.14) в задаче с дискретным временем⁷.

Последнее условие – это условие трансверсальности в непрерывном времени:

(8.20)

Условия (8.18), (8.19) и (8.20) характеризуют поведение фирмы.

И, наконец, следует отметить, что мы можем выразить стоимость дополнительной единицы капитала через будущие значения предельного дохода от капитала. Из условия (8.19) мы имеем:

(8.21)

для любого .⁸ Используя условие трансверсальности, можно показать, что второе слагаемое в правой части стремится к нулю, когда стремится к нулю. Поэтому мы получаем

(8.22)

Уравнение (8.22) показывает, что оценка дополнительной единицы капитала в каждый момент времени равна приведенному потоку будущих предельных доходов, получаемых от ее использования.