Односторонняя непрерывность.

Определение 7. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева, если .

Определение 8. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ справа, если .

Определение 9. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х₀ разрыв, соответственно, слева или справа.

Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х₀= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х₀= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа (доказать самостоятельно).

Классификация точек разрыва.

Изложенное выше сводится к следующему: для того, чтобы функция f(x) была непрерывной во внутренней точке х₀ области определения, необходимо и достаточно выполнение четырёх условий:

1. f(x) определена в точке х₀ (т.е.  f(х₀)) и некоторой её окрестности;

2. ;

3. ;

4. Все эти три числа равны между собой: (в правом и левом концах области определения снимаются условия, относящиеся, соответственно, к пределам справа и слева).

Определение 10. Если хотя бы одно из перечисленных условий непрерывности функции в точке не выполняется, f(x) называется разрывной в точке х₀, а сама точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x).

Рассмотрим возможные варианты:

Определение 11. Точка разрыва х₀ называется точкой устранимого разрыва, если существуют односторонние пределы и они равны между собой (т.е. ).

Из этого определения следует, что точка разрыва х₀ может быть точкой устранимого разрыва только в случае, когда значение f(x) в точке х₀ либо не определено, либо не равно .

Пример:

. Эта функция не определена в точке х₀ = 0, но  существуют односторонние пределы, и они равны. Следовательно, точка х₀ = 0 - точка устранимого разрыва. Если доопределить функцию в этой точке: то будет получена непрерывная в точке х₀ = 0 функция, таким образом, разрыв будет "устранён".

Определение 12. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода (иногда применяется термин "скачок"), если существуют односторонние пределы, но они не равны между собой.

Пример:

(сигнум, "знак-функция"). При х+0 у(х)1 (справа от точки 0 у(х)=const=1); при х-0 у(х)-1, у(х+0) и у(х-0) существуют и не равныточка х₀ = 0 - точка разрыва первого рода.

Определение 13. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует ( в частности, он может быть бесконечным).

Для точек разрыва любого типа не требуется существования f(х₀).

Пример: . Любая точка, кроме х₀=0, принадлежит области определения, поэтому функция в ней непрерывна. При х-0 1/x-, поэтому 2^1/х0, т.е. конечный предел слева существует. При х+0 1/x+, поэтому 2^1/х, т.е. конечного предела справа не существует, следовательно, точка х₀=0 - точка разрыва второго рода.

Второй пример - функция , не имеет ни левого, ни правого односторонних пределов при х0, т.е. х₀=0 - точка разрыва второго рода.