ЗАНЯТИЯ 5 и 6

Непрерывность функций.(Теоретические сведения)

Определение непрерывности функции в точке.

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1. существует ;

2. этот предел равен значению функции в точке х₀: .

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть неопределена в точке х₀, а если она определена в этой точке, то значение f(х₀) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(х₀) существует, и это значение должно быть равно .

Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для 0 существует положительное число , такое что для всех х из -окрестности точки х₀ (т.е. если х- х₀ ) выполняется неравенство  f(x) - f(х₀) .

Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(х₀), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости -окрестности 0х- х₀ .

Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим х=х - х₀, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х  х₀, то х0, т.е. х – БМ(бесконечно малая) величина. Обозначим у = f(x) - f(х₀), эту величину будем называть приращением функции, так как |у| должно быть (при достаточно малых |х|) меньше произвольного числа 0, то у - тоже БМ величина, поэтому

Определение3 . Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Ещё одно равносильное определение на языке последовательностей:

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности точек области определения, сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функции сходится к f(х₀):

.

Определение 5. Функция f(x) не являющаяся непрерывной в точке х₀, называется разрывной в этой точке.

Определение 6. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Арифметические операции над непрерывными функциями. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность суперпозиции функций.

Теорема 1. (О непрерывности суммы, произведения, частного). Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)g(x), f(x)g(x), (частное - в случае, когда g(х₀)0).

Теорема 2 (О переходе к пределу под знаком непрерывной функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t₀ и имеет , равный х₀. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х₀.

Тогда существует, и .

Теорема 3 (О непрерывности суперпозиции непрерывных функций). Пусть функция непрерывна в точке точке t₀. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х₀. Тогда сложная функция непрерывна в точке t₀.

Непрерывность элементарных функций.

Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

2. Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для 0 возьмём  = , тогда если  х- х₀, то  f(х)- f(х₀) =  х- х₀=).

3. Функция y(х)= х² = х х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

4. По индукции функция y(х)= хⁿ = х^n-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= а_nхⁿ, где а_n=C=const.

5. Рациональная функция непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

6. Дробно-рациональная функция: непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

7. Показательная функции - непрерывна.

8. Логарифмическоая функция - непрерывна.

9. Тригонометрические функции: , , и непрерывны в точках, в которых они определены, как частное непрерывных функций.

10. Гиперболические функции непрерывны ( в точках, в которых ), так как они определяются через непрерывную функцию . Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию .

11. Показательно-степенная функция , - непрерывна, так как она представляется в виде , т.е. в виде суперпозиции непрерывных показательной и логарифмической функций.