В итоге получается

х + у = 0011= .

Это отвечает истинному результату алгебраического сложения 6 – 3 = 3.

Следует отметить, что если результат сложения положительный

( нуль в знаковом разряде ), то он воспринимается как прямой код. Если же результат сложения отрицательный ( единица в знаковом разряде ), то он воспринимается в том коде, в каком было представлено отрицательное число при сложении. Например, необходимо сложить два числа х= и у=. Прямой, обратный и дополнительный код отрицательного

числа х имеют вид соответственно , и . Положительное число у используется только в прямом коде . Алгебраическое сложение с использованием обратного кода отрицательного числа х

1001

0011

.

Здесь полученный результат отрицательный, о чем свидетельствует единица в знаковом разряде. Коль скоро он отрицательный, то его код воспринимается как код отрицательного слагаемого х, то есть обратный. Чтобы перевести результат в обратном коде в десятичную систему счисления, необходимо обратный код перевести в прямой, затем в двоичный, а потом в десятичный код.

Алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода отрицательного числа х.

1010

0011

Здесь отрицательное слагаемое х использовано в дополнительном коде, поэтому и результат воспринимается в дополнительном коде. Путь перевода результата в десятичную систему счисления аналогичен предыдущему случаю.

Следует иметь в виду, что для заданной длины разрядной сетки, дополнительным кодом представляется на единицу больше отрицательных чисел, чем положительных. Например, в 8-разрядной сетке можно представить наибольшее положительное число +127 в прямом коде как 01111111 и наименьшее отрицательное число –128 в дополнительном коде как 10000000 . По этим причинам для представления отрицательных чисел в компьютере чаще используется дополнительный код.

Операция алгебраического сложения чисел, представленных

в форме с фиксированной точкой

При алгебраическом сложении чисел, представленных в форме с фиксированной точкой, слагаемые представляются в дополнительном коде, так как они хранятся в памяти в этом коде. Если результат положительный ( нуль в знаковом разряде ), то он воспринимается в прямом коде ( для положительных чисел прямой и дополнительный код одинаков ), если результат отрицательный ( единица в знаковом разряде ), то он воспринимается в дополнительном коде.

Иногда при сложении кодов возникает переполнение разрядной сетки, что ведет к искажению результата. Переполнение устанавливается путем анализа переносов в знаковый разряд и из него. Признаком переполнения является наличие переноса в знаковый разряд суммы при отсутствии переноса из знакового разряда ( положительное переполнение ) или наличие переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в ее знаковый разряд ( отрицательное переполнение ). При положительном переполнении – результат операции положительный, а при отрицательном – отрицательный.

Если же переносов из знакового разряда и в знаковый разряд суммы нет или есть оба эти переноса, то переполнения нет и при нуле в знаковом разряде сумма положительная и представлена в прямом коде, а при единице в знаковом разряде сумма отрицательная и представлена в дополнительном коде.

Операция алгебраического сложения чисел представленных

в форме с плавающей точкой

Начинается операция с выравнивания порядков слагаемых. При этом порядок меньшего по модулю числа принимается равным порядку большего по модулю числа, а его мантисса сдвигается вправо на число шестнадцатиричных разрядов равное разности порядков.

В процессе сдвига мантиссы меньшего слагаемого происходит потеря младших разрядов, что вносит погрешность в результат операции. При этом может оказаться, что мантисса меньшего слагаемого сдвигается за пределы разрядной сетки. Тогда в качестве суммы принимается большее по модулю слагаемое.

После выравнивания порядков начинается алгебраическое сложение мантисс по таким правилам, как и для чисел с фиксированной точкой. Порядок результата принимается равным порядку большего слагаемого. Если в процессе суммирования условие 1/16 <= /m/ <1 не выполняется, то это может привести к нарушению нормализации мантиссы m. В этом случае производится сдвиг мантиссы с соответствующим изменением порядка результата.

Операции сложения чисел, представленных в форме с плавающей точкой, требуют большего времени, чем операции с числами, представленными в форме с фиксированной точкой.

Принципы аппаратной реализации операций умножения

и деления

Операция умножения двоичных целых чисел, представленных в форме с фиксированной точкой, приводит к формированию в АЛУ компьютера произведения, имеющего двойную длину по сравнению с множителями.

Для реализации умножения необходимо иметь регистры множимого и множителя, а также сумматор, в котором производится последовательное суммирование частных произведений. Для (n-1) – разрядных сомножителей операция умножения состоит из (n-1) циклов. В каждом цикле инициализируется очередная цифра множителя. Если это единица, то к содержимому сумматора частичных произведений добавляется множимое, в противном случае ( очередная цифра нуль ) прибавление не производится. При этом множитель и сумма частичных произведений сдвигаются на один разряд вправо относительно неподвижного множителя.

Поскольку, по мере сдвига множителя, старшие разряды регистра множителя освобождаются, они могут быть использованы для хранения младших разрядов произведения, поступающих из сумматора частных произведений в процессе выполнения умножения. Для этого младший разряд сумматора частичных произведений соединяется со старшим разрядом регистра множителя. После завершения операции умножения старшие разряды произведения находятся в регистре сумматора, а младшие – в регистре множителя. На рис. 6.3 приведен алгоритм умножения чисел А и В.

Здесь логическая операция AND с константой 1 позволяет выделить младший разряд множителя с целью формирования определенного частичного произведения. SHR – сдвиг множителя на один разряд вправо.

Правило перемножения целых двоичных чисел очень похоже на перемножение в столбик. Пусть заданы множимое А= и множитель В=. Перемножение их по известным правилам арифметики имеет вид

1 1 0

*

1 0 1

1 1 0

+ 0 0 0

1 1 0

1 1 1 1 0

+

+

Рис. 6.2 Алгоритм умножения чисел А и В

Поскольку полученный результат является верным. Для выполнения этой операции в компьютере используются трехразрядные регистры множимого, множителя и сумматора частичных произведений. Сдвиг множимого А и суммы частичных произведений S производится вправо. По мере выполнения операций умножения младшие разряды суммы частичных произведений S перемещаются в старшие ( освобождающие ) разряды регистра множителя. Последовательность операций имеет следующий вид, представленный в таблице

Операции	Разряд множителя В	Реализация
S – 0		0 0 0 + 1 1 0
S = S + A	1
S		1 1 0
SHR 1		0 1 1 0
SHR 1	0	0 0 1 1 0 + 1 1 0
S = S + A	1
S		1 1 1 1 0

В итоге получен тот же результат, что и перемножении вручную, то есть А*В = .

Сдвиг в компьютере суммы частичного произведения вправо, а не сдвиг множителя влево, как это делается при перемножении вручную, производится из соображений упрощения технической реализации. При этом, как видно из примера, результат остается неизменным.

Умножение чисел с различными знаками можно свести к перемножению их модулей с последующим формированием знакового разряда произведения. Произведению устанавливается знак плюс, если знаки чисел одинаковы и знак минус, если знаки чисел различны.

Кроме того, в компьютере есть возможность выполнять операции умножения чисел, представленных их кодами. При этом, положительные множители представляются в прямом коде, а отрицательные – в дополнительном. Если множители имеют одинаковые знаки, то произведение представляется в прямом коде, если же знаки различны, то произведение представляется в дополнительном коде.

Принципы реализации операции умножения чисел, представленных в форме с фиксированной точкой аналогичны, с той лишь разницей, что при этом добавляется операция определения порядка произведения (алгебраического сложения порядков сомножителей) и проводится, если необходимо, нормализация результирующей мантиссы с соответствующим изменением порядка произведения.

Если при суммировании порядков возникло переполнение, и порядок произведения получился отрицательным, то это означает, что искомое произведение оказалось меньше минимально представленного в компьютере числа, и тогда в качестве результата операции может быть записан нуль без перемножений мантисс множителей. Если же возникло переполнение для положительного порядка, то результат при этом может все-таки находиться в диапазоне чисел, представляемых в компьютере. Это объясняется тем, что при умножении мантисс происходит нарушение нормализации вправо, поэтому после нормализации мантиссы переполнение в порядке произведения исчезает

Операция деления чисел, представляемых в форме с фиксированной точкой, сводится к многократным вычитаниям и сдвигам. При этом разряды частного, начиная со старшего, определяются последовательным вычитанием делителя сначала из делимого, а затем из образующихся в процессе деления сдвигаемых остатков. Если разность между делимым (или очередным остатком) и делителем положительная или равна нулю, то в соответствующий разряд частного записывается единица, а если отрицательная – нуль. Поскольку в компьютере операция вычитания в непосредственном виде не выполняется, то последовательное вычитание заменяется сложением остатков с дополнительным кодом делителя. При этом новый остаток также получается в соответствующем коде.

В компьютере делимое в форме с фиксированной точкой представляется с удвоенным количеством разрядов по сравнению с делителем и частным.