Графоаналитический метод интегрирования уравнения движения (метод последовательных интервалов)

Метод применяется при нелинейных механических характеристиках двигателя и механизма. Для расчета нужно иметь эти механические характеристики. Имея их, строится кривая динамического момента, как и в методе пропорций.

Пусть кривая момента двигателя задана в виде ломанной линии (пуск в несколько ступеней), а кривая статического момента – в виде пунктирной кривой (см. график). Задаваясь последовательно приращениями скорости __ и т.д. находят среднее значение М_дин.ср. для каждого участка. Иначе говоря, кривая динамического момента (она здесь неизображена) делится на ряд участков, на каждом из которых М_дин. считается постоянным и равным среднему значению.

Полученные значения М_дин.ср. подставляются в формулу

И вычисляется время для каждого участка приращения .

Обычно все расчеты сводятся в таблицу, на основании которой строится кривая =f(t) и аналогично изложенному ранее, кривая М=f(t).

Уравнения переходных процессов электропривода с линейной механической характеристикой при ₀=f(t) и M_c=const.

При пуске электропривода включением его в сеть на полное напряжение U=const и f₁=const переходные процессы протекают при скачке напряжения, или как говорят, скачке управляющего воздействия, когда ₀=const. Для ограничения бросков тока и момента в якорную или роторную цепь двигателя приходится вводить добавочное сопротивление. Переходные процессы при этом будут далеки от оптимальных. При питании двигателя от преобразователя напряжения или частоты ( в замкнутых системах) можно получить переходные процессы, близкие к оптимальным, путем плавного изменения управляющего воздействия. Они протекают в этом случае при ₀=f(t). При этом ограничивается темп нарастания управляющего воздействия путем ограничения ускорения ₀ Т.о. переходные процессы протекают в этом случае при U=var или f=var.

Проанализируем переходные процессы при линейном изменении управляющего воздействия _ во времени, т.е. при линейном изменении U или f₁, при котором ₀=_{0 нач}+_t.

Исходными дифференциальными уравнениями для получения расчетных соотношений являются ранее полученные уравнения

При соотношении постоянных времени величиной Т_э можно пренебречь и уравнение, определяющее закон изменения будет иметь вид

Правая часть этого уравнения – частное решение, соответствующее установившемуся режиму, когда все свободные составляющие затухнут. Для этого режима =a+bt, где а и b – неопределенные коэффициенты , находимые из начальных условий. Имея в виду, что , получим при t=0

Отсюда

Общее решение дифференциального уравнения относительно 

или

При t=0 _нач , следовательно откуда

.

Окончательно закон изменения скорости

Закон изменения момента в переходном режиме находится аналогично

.отсюда

Используя эти выражения, исследуем переходные процессы при различных режимах и различных по характеру моментах сопротивления.

Переходный процесс пуска электропривода с линейной механической характеристикой при реактивном моменте сопротивления и ₀=f(t)

Исходными уравнениями для анализа переходного процесса являются

Изобразим механические характеристики, на которых электропривод работает в процессе пуска, а рядом будут изображаться кривые переходного процесса. Процесс пуска разбивается на три этапа. На первом этапе двигатель неподвижен (=0), а момент его нарастает по линейному закону

т.к. _{0 нач}=0

Время запаздывания

По достижении моментом двигателя значения, равного М_с, двигатель приходит во вращение и начинается второй этап (II), который закончится, когда ₀ перестанет изменяться, т.е. станет равной ₀=const. Начальные условия для второго этапа : _нач=0 ; _{0 нач}=_с ; M_нач=М_с.

Законы изменения  и М получим, подставив начальные условия в исходные уравнения

Кривые отражающие процесс на этом этапе изображены на графике (начало координат переносится при этом в т. t_з и отсчет времени начинается с момента t_з.).

В конце второго этапа (t=t₀) двигатель выходит на характеристику, соответствующую _=const. До этого он последовательно переходит с одной характеристики на другую, каждой из которых соответствует своя ₀. Зависимости =f(t) и М=f(t) позволяют построить фазовую траекторию, т.е. динамическую характеристику (см.график).

На третьем этапе (III) двигатель работает при неизменном U (неизменной частоте f₁) при _=const. Происходит дотягивание до скорости, соответствующей установившемуся режиму в т.А. На этом этапе законы изменения  и М описываются уравнениями соответствующими _=const, т.е. постоянству управляющего воздействия (постоянству U сети или постоянству частоты f₁

Начало координат при этом надо перенести в т. t₀, т.е. время на этом этапе отсчитывается от t₀. Общее время переходного процесса t_пп=t_з+t₀+3T_M.

Переходный процесс электропривода с линейной механической характеристикой при реверсе и ₀=f(t)

При активном М_с переходный процесс в случае плавного изменения управляющего воздействия (U₁ или f₁) при котором _ изменяется по закону

исходными уравнениями для анализа переходного процесса являются те же ,что и при реактивном М_с. Считаем, что ₀ изменяется от _{0 ном} до -_{0 ном}. Реверс разбивается на два этапа. Первый этап заканчивается когда ₀ станет равной -_{0 ном} и двигатель выходит на характеристику, соответствующую этой скорости.

Подставляя в исходные уравнения значения _{0 нач} =_{0 ном}, _нач =_с, М_нач =М_с и учитывая, что ускорение _ при снижении скорости отрицательно, получим для первого этапа реверса законы изменения и М

В зависимости от соотношения М_с, _ и Т_м суммарный перепад скорости

может быть больше, равен или меньше 0. Если , двигатель в процессе снижения скорости продолжает работать в двигательном режиме, _с>0, а при изменении знака , т.е. изменении направления вращения, переходит в тормозной режим с ₀.

При двигатель при снижении скорости работает в тормозном режиме с ₀ , а при разгоне в противоположном направлении переходит в двигательный режим (пунктирная кривая на графике ).

На втором (II) этапе процесс протекает при ₀ =-_{0 ном}=const и описывается уравнениями как при питании от сети с неизменным напряжением (частотой) . Длительность этого этапа

~ 3Т_М. Происходит дотягивание до скорости -_с.

Процесс реверса при реактивном М_с рассмотрим на примере электропривода с ДНВ при линейном изменении напряжения на якоре двигателя

В процессе торможения закон движения электропривода тот же, что и при активном М_с. Начальная разность между напряжением U_я=U_н на якоре и ЭДС двигателя Е=КФ_с, равная падению напряжения на сопротивлении якорной цепи от тока статической нагрузки J_cR_я, уменьшается до значения, равного падению напряжения от установившегося тока при реверсе

. Ток якоря при этом уменьшается от значения I_c до I_р.уст и затем остается неизменным до =0. В момент перехода  через 0 М_с изменяет свой знак.

Для того, чтобы начался разгон в противоположную сторону, необходимо, чтобы ток тоже изменил направление на противоположное и увеличился после этого до значения, превышающего .Поэтому возникает пауза в движении, аналогичная времени запаздывания пр пуске в ход.

Во время этой паузы ток нарастает (см. график) по закону

; а =0

Пауза заканчивается, когда ток станет равным –I_c и двигатель начинает вращаться в противоположном направлении . Далее процесс будет протекать аналогично случаю пуска. Время паузы

Если увеличивать темп изменения U_я, т.е. величину , то вследствие роста динамического тока I_дин=I_с-I_р.уст при торможении ток I_р.уст=I_с-I_дин вначале будет уменьшаться

до 0 , а затем изменит свой знак. При этом t_п уменьшается и при I_р.уст=I_с становится равным 0. Из уравнения движения для этого случая –М-М_с=I__можно определить ускорение _` соответствующее этому условию

Если , то процесс изменения  при реверсе является непрерывным, лишь при переходе через 0 скачком изменяется ускорение . Для рассмотренного случая на левом графике изображена и динамическая характеристика .

Рассмотренные переходные процессы позволяют сделать выводы : 1) Задаваемый на входе системы закон изменения скорости воспроизводится с ошибкой, которая в установившемся переходном процессе складывается из ошибки, равной статическому перепаду скорости _с и ошибки, равной динамическому падению

;

Увеличение  статической механической характеристики влечет за собой соответствующее уменьшение отклонения кривой f(t) от кривой _f(t) .

2). Закон изменения U_Я для двигателей постоянного тока или частоты f₁ для двигателей переменного тока определяет характер изменения в переходном режиме с тем большей точностью, чем меньше Т_м . Этот вывод справедлив не только для случая линейного закона изменения управляющего воздействия, но и, например, для экспоненциального закона. В качестве примера оценим характер изменения ЭДС двигателя, пропорциональной скорости в переходном процессе пуска двигателя постоянного тока при М_с=0, когда U_я измениться по закону , где Т_ип – электромагнитная постоянная времени источника питания. Пусть Т_ип>>Т_м . Начальная часть кривой U_Я близка прямой 1, соответствующей неизменному значению . Если бы U_Я нарастало по линейному закону, ток изменялся бы по закону экспоненты (кривая 2) с постоянной Т_м, стремясь к значению I_макс . Но поскольку темп нарастания U_Я в действительности уменьшается, ток, достигнув значения I``_макс при t=t_макс, начнет уменьшаться по закону близкому к закону, определяющему темп изменения напряжения . ЭДС двигателя изменяется по кривой 3 , отличаясь от U_Я в каждый момент времени на величину падения напряжения в цепи якоря при данном токе. Чем меньше Т_М, тем меньше падение напряжения, тем ближе кривая 3 к кривой U_Я.