Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

tau lekcii 2006

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2014

Размер:

832.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

5. Соединение элементарных динамических звеньев (ЭДЗ).

5.1. Общие сведения.

Виды соединений.

1.параллельное;

2.последовательное;

3.встречно-параллельное;

4.комбинированное.

ПРИМЕР:

Wэкв(s)

W1 ¸ W6 (s) - передаточные функции

W2(s)

ЭД систем.

x(t)

y(t)

W1(s)

W4(s)

W3(s)

W5(s)

Правила.

W6(s)

x(t) = x1 (t) = x2 (t) = x3 (t)

x(t)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

x1(t)

x(t)

алгебраический сумматор: x(t) = ±x1 (t)± x2 (t)

x2(t)

x(s)

y(s)

y(s) = x(s)× W(s)

W(s)

5.2. Параллельное соединение ЭДЗ.

				y	1(s)
	W1(s)			y


x(s)		y2(s)			± y(s)
	W2(s)	y2(s)
		±		±
			yn(s)
	Wn(s)		yn(s)

Wэкв(s)

y(s) = ±y1 (s)± y2 (s)± ... ± yn (s) y1 (s) = x(s)× W1 (s)

yn (s) = x(s)× Wn (s)

y(s) = x(s)× [± W1 (s)± W2 (s)± K± Wn (s)]

Wэкв (s) = yx((ss)) = ±W1 (s)± W2 (s)± K± Wn (s)

Правило: Эквивалентная передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме их передаточных функций.

КЧХ: W(jw)s→jω = åWi (jw)

i=1

ПРИМЕР: (из лабораторной работы №1). Параллельное соединение П-звена и И-звена.

Wэкв (s) = Wп (s)+ Wи (s) = k + Tи1× s

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc							22
		y1				jIm(ω)
	k					jIm(ω)

				k	y(t)
				k	y(t)
	П-звено
x(t)	П-звено		+			k	П-звено
			+				П-звено

				Re(ω)
И-звено	у2	-	ωi	φэкв(ωi)
И-звено				КЧХ
1			Аэкв(ωi)	КЧХ
1		1(t)	Аэкв(ωi)	параллельного
Тиs		Ти		соединения
		Ти		двух звеньев

(jw)

= k +

= k - j

экв

s®jw

Tи × jw

Tи × w

Aэкв

(w) =

(Ти × w)2

j(w) = -arctg

k × Ти × w

При ω → 0 ; j ® - p

W (jw) = k ; W

(jw) =

× e- j

Tи × w

5.3. Последовательное соединение ЭДЗ.

x(t)

у1(t)

у2(t)

у(t)

W1(s)

y(t) = L-1 {W × W × W

}

y(s) = y2 (s)× W3 (s) = y1 (s)× W2 (s)× W3 (s) = x(s)× W1 (s)× W2 (s)× W3 (s)

Wэкв

( )

y(s)

= W1

( )

x(s)

W2 s

× W3 s

Wэкв (jw)

s® jw = W1 (jw)× W2 (jw)× W3 (jw)

Правило:

Передаточная функция или КЧХ последовательного соединения звеньев равна

ПРИМЕР:

произведению передаточных функций или КЧХ входящих в соединение звеньев.

х(t)

у(t)

jIm(ω)

И-звено

А-звено

ω→∞

Re(ω)

Wэкв

φ(ωi)=45º

ωi

Тиs

Тas + 1

Wa(jω)

Wи(jω)

Wэкв (s) = Wи (s)× Wa (s) =

ω→0

Tи

× s × (Ta × s + 1)

(jw) =

× e

× e-arctg(Ta ×w) =

× e

é p

- jp

- jê

+arctg(Ta ×w)ú

экв

Tи

× w

× w2

+ 1

T × w × T2 × w2 + 1

14243

14444244443

И-звено	А-звено

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc				23
® Аи (wi )× Аa (wi	); j = - p	- p	= -	3p
				4
	2	4

Правило перемножения векторов:

При перемножении векторов аргументы (ФЧХ) складываются, модули (АЧХ) перемножаются.

Теоретически		ω = 0 ÷ ∞			jэкв (0) = - p
При		ω = 0		Аэкв (0) = ¥	jэкв (0) = - p
					2
		ω → ∞		Аэкв (¥) = 0	jэкв (¥) = -p
			5.4. Встречно-параллельное соединение ЭДЗ.
x(t)	x1(t)		Wэкв(s)	y(t) Обратная связь может быть со знаком “+” или “-”.
				“+” – положительная обратная связь (ПОС)
		W1(s)		“+” – положительная обратная связь (ПОС)
±	x2(t)			“-” – отрицательная обратная связь (ООС)
				“-” – отрицательная обратная связь (ООС)
				ПОС раскачивает систему.		ООС	стабилизирует	систему
		W2(s)

				(направлена	на исключение	внешнего	влияния).ООС	лежит в
				(направлена	на исключение	внешнего	влияния).ООС	лежит в

основе стабилизирующих автоматических систем регулирования (АСР). ПОС используется в позиционном регулировании.

(

)

y(s)

Wэкв s

x(s)

}

y(s) = x

(s)× W

(s) =

ПОС

(s)

[x(s)± x

(s)]× W (s) = [x(s)± y(s)× W (s)]× W (s)

(s) = x(s) ± x

{

ООС

Wэкв (s) =

W1 (s)

- ПОС

1 ± W1 (s)× W2 (s)

+ ООС

ПРИМЕР:

λ(s)

U(s) - задание регулятору

Автоматический

Объект

l s

)

- возмущение по каналу

регулирующего

U(s)

регулятор

регулирования Y(s)

(

Wр(s)

Wо(s)

воздействия

U(s)

y(t)

t Uзад

Если на входе

t , то на выходе

Если изменилось

l(s), то регулятор

должен на

П-звено = 1.0

выходе скомпенсировать изменение λ :

y(t)

(единичная обратная связь)

Канал U(t)® y(t)

6447448

т.к. послеоавтельное соеинение

Wp (s)× Wo (s)

WU−Y

+ W

(s)× W (s)×

экв

{

всегда в знаменателе

ООС1442443

П-звено ýПравилоМейсона

(

)

( )

замкнутый контур

Канал l t

® y t

Wo (s)

λ−Y

Wэкв = 1 + W

(s)× W (s)×1

Wэкв (jw) = Wэкв (s)

s= jω

При U(t) = 1 и l(t) = 1 ,

y(t) можно определить:

1.через решение эквивалентного дифференциального уравнения

2.через Wэкв (s) и обратное преобразование Лапласа L−1 {U(s)× WэквU−Y (s)}

3.через Wэкв (jw) и обратное преобразование Фурье

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

Wэкв	(s) =					W1 (s)× [W2 (s)+ W3 (s)]× W4 (s)
Wэкв	(s) =	1 + W1			(s)× [W2 (s)+ W3 (s)]× W4 (s)× [W5 (s)+ W6 (s)]
		1 + W1			(s)× [W2 (s)+ W3 (s)]× W4 (s)× [W5 (s)+ W6 (s)]
ПРИМЕР: (лабораторная работа №2)
			И-звено				А-звено
		регулятор					объект
		1					ka
U(s)				Ти ×s			Тa × s + 1	Y(s)
_			Wи(s)				Wа(s)
_

(единичная обратная связь)

ka ,Ta = const;Ти

= var

Канал U(t)® y(t)

W (s)× W

(s)

WU−Y =

× s

× s + 1

экв

1 + W (s)

× W

(s)

+ Ти × s × (Тa × s + 1)

WU−Y =

Ти × Тa × s2 + Ти × s + 1

экв

14243

{

T22

= (Ти × Тa × s2 +a Ти × s + ka ) =

s ®		1	;	s	2 ®	1
						dt2
		dt
Обратное преобразование:
T2 ×	d2 y(t)				+ T ×		dy(t)	+ y(t) = 1× U(t)

2		dt		2	1		dt
								и Т1 (то есть от Ти, Та, ka) вид y(t) будет меняться.
В зависимости от T2
						2		В такой системе расходящихся колебаний быть не может.
y(t)
								Решение дифференциального уравнения [1]

y(t) = yвынужден (t)+ yсвоб (t)

1, при U(t)=1(t) yвынужден (t) = 1× U(t)U(t )=1 = 1 ¬ определяется правой частью

усвоб (t) = åCi × erit = C1 × er1t + C2 × er2t

i=1

r ,

r - корни характеристического уравнения [T2 × r2

+ T × r + 1 = 0, при y(t) ¹ 0]

ö2

r1,2

= -

Варианты:

a. подкоренное выражение больше 0 Þ T1

f 2T2

* подкоренное выражение равно 0, если T1

= 2T2

корни: r1 = -a1 ; r2 = -a2

(корни вещественны и отрицательны).

y(t) = 1 + C1e−α1t + C2e−α2t

С1 и С2 → из нулевых начальных условий:

(

)

= 0

ïC1 = -

y t

t=0

= 1 + C1

+ C2

ï ï

a2 - a1

y¢(t)

ý Þ

= -a × C - a × C = 0ï

ïC2 = +

t=0

2 þ

a2 - a1

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc					25
Окончательно: y(t) = 1 -		a2	× e-a1t +	a1	× C2e-a2t
	a2
		- a1		a2 - a1

y(t)

Апериодическое звено 2-го порядка;

1 А-звено

t y(t)

точка перегиба

Примечание: Динамическую систему, которая описывается линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка, принято называть инерционным звеном 2-г порядка.

Если корни вещественны, отрицательны и различны, то такое звено называют апериодическим звеном 2-го порядка.

Такое звено можно заменить:

х(t)

у(t)

З-звено

А-звено

е-st

Т × s + 1

(s) =

× e-t×s

экв

T × s + 1

y(t) c

b. T

= 2T

r1 = r2 = -a

y(t) = 1 + (C1

+ C2 )× e-a×t , при х(t) = 1

Начальные условия:

y(t)

= 0

ìC1 = -1

t=0

y¢(t)

= 0

Þ í

= -a

t=0

решение: y(t) = 1 - (1 + a × t)× e-a×t

Окончательное

- граница

между

вещественными и

комплексными конями.

c. T1 p 2T2

корни: r1 = r2

= -a ± jw

ö2

* w =

- расчетная частота собственных колебаний;

- 1 = j

2 ø

y(t) = 1 + (C1 × Coswt + C2 × Sinwt)× e-a×t

Начальные условия:

y(t)

= 0

ìC1 = -1

t=0

y¢(t)

Þ í

= -

= 0ï

t=0

æ	a	ö	× e-a×t
Окончательное решение: y(t) = 1 - çCoswt +	w	× Sinwt÷	× e-a×t
è	w	ø

1.Та = 10; Ти = 10; kа = 1

2.Ти,1 = 0.2·Ти

3.Ти,2 = 5·Ти

y(t) А1

Т0

– период собственных колебаний

А3

= А1 × e-at

1.0

w =

– экспериментальная частота собственных колебаний

Т0

Для таких систем вводят степень затухания: y =

А1 - А3

А1

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

Возьмем отрезок [0;Т0 ] - см. график

y= А1 - А1 × e−αT0 = 1 - e−α 2ωπ

А1

a		= m - степень колебательности.
a		= m - степень колебательности.
w

y = 1 - e−2πm
На практике ψ = 0.7 ÷ 0.9

ψ	0.7	0.9
m	0.221	0.366
Теоретически ψ = 0 ÷ 1			y(t) 2.0
	m = 0 ÷ ∞		y(t) 2.0
	m = 0 ÷ ∞

d. T1 = 0

корни: r1 = r2 = ±jw - чисто мнимые y(t) = 1 - Coswt

Подбирая коэффициенты Ти можно подобрать вид кривой. Частотные характеристики инерционного звена 2-го порядка.

Wэкв (s) = Wи

(s)×

Wa (s)×

- соответствии со схемой.

+ Wи (s)× Wa

(s)

Wэкв (jw)

s→jω

Wи (jw)× Wa (jw)

+ Wи (jw)× Wa (jw)

Можно получить Wэкв (s) и Wэкв (jw) из дифференциального уравнения.

(s) =

Y(t)

экв

( )

× s

+ T1

× s + 1

X t

Wэкв

(jw) =

1× (1 - T2 × w2

- jT × w)

(T2

× (jw)2 + T × jw + 1)×

(1 - T2 × w2

- jT × w)

1 - T2 × w2

T × w

× w2

= ( - T22 × w2 )2

+ T12

× w2 - j× ( - T22 × w2 )2 + T12

14444244443

Re(ω)

Im(ω)

A(w) =

Re2 (w)+ Im2 (w)

(

× w

2 )2

× w

Im(w)

1 - T2

+ T1

j(w) = arctg

= -arctg

T1 × w

Re(w)

1 - T2 × w2

1 вариант: аналитический.

T1 f 2T2 T1 p 2T2

T1 = 0

T1 = 2T2

При T1 = 2T2 (случай b) T2 = 0.5 , КЧХ – граница

1.ω = 0 , j(0) = 0, А(0) = 1

2.ω → ∞ , j(¥) = -p , А(¥)® 0

3. j = - p	, Re(w) = 0 Þ w	π	=	1
				T2
2	−	2

1.0

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

Imç w

−

π ÷

æ T1

2 ø

Резонанс при w = wсобств.

2 вариант: графический.

Wэкв (s) =

Wa × Wи

1 + Wa × Wи

Сначала строятся КЧХ А-звена и КЧХ И-

звена.

w3 строится

При

какой-то

частоте

Wa × Wи

→

−−−−−−−−→

3. складываются вектора

Wa × Wи ,

−−−−−−−−−−−−→

получается вектор 1 + Wa ×

Wи

−−−−−−−−→

−−−−−−−−−−−−→

4. делим

× Wи на 1 + Wa ×

Wи . При этом

аргументы вычитаются, а модули делятся.

5.5. Понятие о замкнутой и разомкнутой системах.

Wзам(s) Y(s)

По такой структуре строятся АСР, где

U(s)

W (s) - передаточная функция объекта регулирования

W1(s)

W2(s)

W1 (s)- передаточная функция регулятора

Wзам

(s) =

Y(s)

(s)× W2 (s)

- замкнутая АСР

U(s)

+ W1 (s)× W2 (s)

Если

обратную

связь

разорвать,

то

получается

разомкнутая АСР.

Wраз (s) = YU((ss)) = W1 (s)× W2 (s)

Wзам (s) = Wраз (s() )

1 + Wраз s

−−−−→		−−→	æ		−−→	ö
Wзам (jw) = OC			ç	−−→	mod OA	÷
			çmod OC =			÷
	−−→		çmod OC =		−−→	÷
−−→	OA		ç		mod OB	÷
OC =	OA		ç −−→		−−→	−−→ ÷
OC =	−−→		ç −−→		−−→	−−→ ÷
	−−→		ç			÷
	OB		èargOC = argOA- argOBø

6. Имитационное моделирование переходных процессов в ЛДС.

6.1. Замена дифференциального уравнения высокого порядка на соединение элементарных звеньев.

ПРИМЕР: (из расчетного задания).

x(t)		y(s)	Дифференциальное уравнение:
				d3 y(t)		d2 y(t)		dy(t)
	т/о
G, м3/ч			A3		+ A2		+ A1		+ y(t) = B × x(t)
		Θ, ºС		dt3		dt2		dt

~ 500		~ 80ºС

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

- коэффициент усиления (задано ~ 1.0)

Вê

3С

чû

– на схеме изменяется температура на выходе подогреваемой среды при DGгор = 1

м3

= Y(s)

(s)

×s3

+ A

×s + 1

об

U(s)

×s2 + A

14444244443

[ ]

Эквивалентная схема: 3 А-звена.

U(s)

y(s)

T1 × s + 1

T2 × s + 1

T3 × s + 1

(s) =

Wоб

(T1 × s + 1)× (T2 × s + 1)× (T3 × s + 1)

Чтобы осуществить такую замену, необходимо найти Т1, Т2, Т3 (известны А1, А2, А3).

= -

; Т

= - 1

; Т

= - 1

, где r ,r ,r

- корни характеристического уравнения [*].

Программа для MathCad:

f (A3, A2, A1,r):= A3 × r3

+ A2 × r2

+ A1× r + 1

А3 := 40;

А2 := 38; А1 := 11;

j := 0K100; rj

:= 0.1j - 1;

(Практически все корни в задании 0 ¸ (- 1))

y j

:= f (A3, A2, A1,rj )

+0.15

Частный случай: r1 , r2

= r3

-0.15

r2= r3

-1.0

6.2. Пример имитационного моделирования замкнутой АСР

Представим замкнутую АСР в виде структурной схемы из элементарных звеньев.

μP

λ(t)

e(t) = U(t)- y3 (t)

U(t)

ε(t)

х1(t)

y1(t)

y2(t)

y3(t)

А1-зв.

А2-зв.

А3-зв.

x1 (t) = m(t)+ l(t)

Wобъект.(s)

μ = μP + μI

Wрег.(s)

μI

ООС

А1-звено: W1

(s) =

× s + 1

А2-звено: W2

(s) =

× s + 1

А3-звено: W3

(s) =

× s + 1

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

П - регулятор : Wп

= kp

0.2 × Ти

- регулятор

ýПИ

И - регулятор : Wи

× tï

Ти

Программа:

k1 := B

k2 := 1

k3 := 1

Исходные данные объекта:

, ( B = 0.8 - задано)

T1 := 2 T2 := 4 T3 := 5

Разностные уравнения звеньев:

1 -

× ka × X

+ T

А-звено: fa (ka ,Ta ,dt, X,Y):= ç

÷ × Y

kр

И-звено: f

k ,T ,dt, X,Y

× dt × X + Y

и ç

1р44и 2443

параметры расчета

П-звено: fр (kр , X):= kр × X

te := 60 , N := 6000- число точек,

[N = 100 × t], t – время.

dt :=

- шаг, j := 0KN

t j := dt × j - текущее время

¬ 0 ü

mI0 ¬ 0

¬ 0

y10

¬ 0

ýнулевые начальные условия

¬ 0ï

y30 ¬ 0þ

for

jÎ 0K

P(kp ,Tи ,l,U):=

xj+1

¬ l + mj

y1j+1 ¬ fa (k1,T1,dt,xj+1 ,y1j )

y2j+1 ¬ fa

(k2,T2,dt,y1j+1 ,y2j )

y3j+1 ¬ fa

(k3,T3,dt,y2j+1 ,y3j )

ej+1 ¬ U - y3j+1

mPj+1 ¬ fp

(kp ,ej+1 )

mI j+1 ¬ fи (kp ,Ти ,dt,ej+1 ,mPj+1 )

m j+1 ¬ mPj+1 + mI j+1

V1 := P(0,1000,1,0)

V1j

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

7. Устойчивость ЛДС.

7.1. Понятие об устойчивости.

Аксиома 1: Устойчивость определяется внутренним состоянием ДС. Аксиома 2: Устойчивость не является абсолютным свойством ДС.

ПРИМЕР:

а) устойчивая ДС б) нейтральная ДС в) неустойчивая ДС.

y(t)	В данном случае внутренним состоянием системы является форма
y(t)	поверхности.
	- граница

t- устойчивая - неустойчивая

х(t)

у(t)

Если подать на вход сигнал:

x(t) – правая часть диф. уравнения, описывающего ЛДС. Систему можно отрегулировать так, чтобы она была устойчива.

Устойчивость – свойство ДС возвращаться в исходное состояние после снятия действующих на нее возмущений.

t Устойчивость определяет свободное движение системы усвоб (t)

усвоб (t) = åCi × erit i=1

Свободное движение системы зависит от корней характеристического уравнения.

Прямой метод оценки устойчивости – решение дифференциального t уравнения усвоб (t)

7.2. Косвенные методы оценки устойчивости ЛДС.

7.2.1. По корням характеристического уравнения ЛДС.

Дифференциальное уравнение → характеристическое уравнение → корни
Корни в общем виде: r1,2 = ±a ± jw
1.	Корни	вещественны,		отрицательны
	(- a1 ,-a2 ,K).
	ЛДС – устойчивая без колебаний.
2.	Комплексные		(- a ± jw)		с
	отрицательной вещественной частью.
	ЛДС устойчива с колебаниями.
3.	Один из корней равен 0.
4.	ЛДС нейтральная.
	Корни	мнимые	→	незатухающие
	колебания → граница устойчивости.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория автоматического управления

#
11.02.2014832.07 Кб28tau lekcii 2006.pdf
#
11.02.201440.96 Кб16tau_voprosy_2007.doc