Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

tau lekcii 2006

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2014

Размер:

832.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

На практике:

х(t)

tи

-Х

у(t) кривая разгона

Если просуммировать кривые разгона от «+» импульса Х и «-»

импульса –Х, то получим кривую ω(t)

ω(t)/Х

h(t)

ДУ – математическая модель ДС. Решив дифференциальные уравнения

при х(t) = 1(t), получим переходную характеристику:

h(t)

−t ö

ω(t)

x(t )=1

= k

ç1

- eTa ÷

a ç

ka/Ta

Чтобы

получить

импульсную

характеристику,

нужно

продифференцировать h(t).

При x(t) = 2 (например) получим кривую разгона.

2.6. Частотные характеристики ЛДС.

Частотные характеристики на вход подают какие-то гармонические

колебания (не ступеньку, как временные).

x(t)

Частота гармонических колебаний: ω = 0 ÷ ∞ (теоретически).

На практике: wр = w1 ¸ wср

x,y(t)

wср - частота среза (частота, при которой на выходе нет сигнала).

Ах

2 × p

радù

wi =

Ti - период колебаний wср

x(t) = Ax × sin wt

На выходе будут колебания с той же частотой и той

же

амплитудой (если система безинерционна), но они могут быть

сдвинуты по фазе (инерционная система).

Dti = tx

- ty («-» - отстают, «+» - опережают).

А(ω)

Время tx и ty надо брать, когда колебания установятся.

А(ωi)

Обработка эксперимента.

A(wi ) =

(ωi

)

- модуль при ωi (относительная амплитуда)

(wi

)

A(w)- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

ωi

j(wi ) = ±Dti × wi - фазовый сдвиг при ωi (аргумент)

± φ(ω) φ(ωi)

j(w)- фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

Комплексная частотная характеристика (КЧХ)

W(jw) = A(w)× e± jϕ(ω) - на комплексной плоскости, либо

полярных координатах.	ωi

ЛДС

y(t)

x(t)

y(t)

Ау t

∆t

АЧХ

ФЧХ

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

jIm(ω)

Другая форма записи:

Re(ω)

(

)

(

)

(

)

= Re w

+ jIm w

φ(ωi)=-π/4

( )

W(jω)

( )

+ Im

( )

ωi-1

A w

А(ωi) j(w) = arctg

Im(w)

ωi

Re(w)

ωi+1

3. Интегральные преобразования в ТАУ.

3.1. Интегралы свертки для входного воздействия x(t) произвольной формы.

Линейная динамическая система (ЛДС) – система, которая подчиняется x(t)

x(t)Σ

принципу суперпозиции.

Принцип

суперпозиции.

Реакция линейной

системы на суммарное

входное воздействие равна сумме реакций на составляющие входного

воздействия:

x(t)

x1(t)

x(t)Σ = x1

(t)+ x2

(t)

y(t)Σ = y1

(t)+ y2

(t)

Вывод выражения для интеграла свертки.

-A x2(t)

x(t) = Dx1 (Dt)×1(t - Dt)+ Dx2 (2Dt)×1(t - 2Dt)+ ... + Dxi (iDt)×1(t - iDt)

Устремим число разбиений на ∆t к ∞

y(t)

y1(t)

y(t) = Dx1 (Dt)× h(t - Dt)+ Dx2 (2Dt)× h(t - 2Dt)+ ... + Dxi (iDt)× h(t - iDt)

y(t)Σ

y(t) = åDxi (iDt)× h(t - iDt)× Dt

i=1

y2(t)

Предельный переход:

n → ∞,

t → dτ, i t → τ

y(t) = òt

x¢(t)× h(t - t)dt

[1]

Dxi (iDt) ® x¢(t)- производная от х

[1] – интеграл свертки через переходную характеристику h(t)

ПРИМЕР.		x(t) = 1× t ,

	ЛДС
x(t)		y(t) то есть через 1 с на выходе будет 1, через 2 с – 2.

x(t)


		∆x2	∆xi
			∆xi


	∆x1
			t

∆t	i∆t
∆t	i∆t

	h(t) = k	æ			−t	ö
x(t)	h(t) = k	ç	1	- eTa ÷
		a ç		÷
		è		ø

1,0

h(t)- переходная характеристика для ЛДС, которую можно описать

дифференциальным уравнением 1-го порядка.

1,0

x′(t) = 1

x(t)

y(t)

öù

или

ЛДС

t−τ

t −

t−τ

−

y(t) = ò1× ka

- e

Ta ÷dt = òkadt - òe

Ta dt = ka

êt - Ta

ç1 - e

Ta ÷ú

x(t)

y(t)

÷ú

øû

h(t)

Если свойства ЛДС заданы в виде w(t)

импульсной характеристики: w(t) =

х(t) заменяем не

суммой ступенек, а суммой импульсов.

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

( )

(

)

[2]

x(t)

y t

= ò x t

w t - t dt

x(t)

h(t)

−

= k

ç1

- e

Ta ÷

a ç

dh(t)

= w(t) =

× e−

3.2. Интегральное преобразование Лапласа. Передаточные функции.

Интегральное преобразование Лапласа относится к методу решения задач путем замены переменных:

t → s = −α + jω - время заменяется комплексной переменной s – оператор Лапласа; α, ω – вещественные числа

j = - 1

Существует прямое и обратное преобразование Лапласа.

Прямое преобразование Лапласа:

∞

F(s) = òf (t)e−stdt = F{f(t)}

ПРИМЕР:

Ta dydt(t) + y(t) = ka × x(t) y(t) ® y(s)

y¢(t) ® F{y¢(t)}

x(t) ® F{x(t)}= X(t)

преобразование Лапласа L

	ìdy(t)ü			∞ dy(t)
Lí			ý	= ò		e−stdt =
Lí			ý	= ò		e−stdt =
	î dt		þ	0	dt
ée−st = U;
ê
êdy(t)		= dV;			y(t) = V;
ê
ê
ë dt

[*]

U × V = òUdV + òVdU ùú

òUdV = U × V - òVdU ú

= y(t)× e−st						∞ +	∞ y(t)× s × e−stdt = -y(0)+ s∞ y(t)× e−stdt = - y(0)+ s × y(s) = s × y(s)
= y(t)× e−st						∞ +
						0	ò		ò	123
							0		10 4243	0
									y(s)
Считается, что y(0) = 0 - нулевые начальные условия.
y′(t) = F{y′(t)}= s × y(s)
	ë*û :® Ta × s × y(s)+ y(s) = ka × x(s)
	Y(s)		= W(s) =					ka	- передаточная функция
	X(s)		= W(s) =					T × s + 1	- передаточная функция
								a
ì		d	2	y(t)	ü			ü
Lí		d		y(t)	ý	® s2 Y(s)ï
Lí					ý	® s2 Y(s)ï
	î dy2				þ		ï		при начальных нулевых условиях
ì			n	y(t)	ü			ý	при начальных нулевых условиях
ì			n		ü
Lí		d			ý	® sn Y(s)ïï
Lí				n	ý	® sn Y(s)ïï
	î dy				þ			þ

Дифференциальное уравнение в общем виде.

Любую ДС можно представить в виде одного дифференциального уравнения.

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

Tn ×

dn y(t)

+ Tn−1

dn−1y(t)

+ ... + T ×

dy(t)

+ y(t) = íìTm

dm x(t)

+ ... + T

dx(t)

+ x(t)ýü × K

dtm

dtn

n−1

dtn−1

m,x

1,x

Т имеет размерность времени.

Это же уравнение, преобразованное по Лапласу:

(

+ ... + T1,x × s + 1

)

Y(s)

K Tm,x × s

= W(s) =

- передаточная функция.

+ ...

+ T1 × s + 1

( )

Tn × s

X s

Передаточная функция

ЛДС W(s) – отношение преобразованных по Лапласу выходной

переменной Y к входной переменной Х при нулевых начальных условиях.

Y(s) = X(s)× W(s)

«+» - нет интегралов, можно использовать обычное алгебраическое действие.

Y(s) = L{Y(t)} - прямое преобразование Лапласа

Y(t) = L−1{Y(s)} - обратное преобразование Лапласа

Y(t) - оригинал, Y(s) - изображение.

−α+ jω,(ω→+∞)

Y(t)

ò Y(s)× e−st ds

−α+ jω,(ω→−∞)

3.3. ПРИМЕР «Анализ ЛДС с применением интегральных преобразований Лапласа».

x(t)

у1(t)

у2(t)

у3(t)

ДС1

ДС2

ДС3

Представленная система описывается дифференциальными уравнениями:

dy1 (t)

+ y1 (t) = k1x(t),

[ДС1]

ïT1

dy2

(t)

2 (t) = k 2 y1 (t),

[ДС2]

íT2

+ y

dy3

(t)

3 (t) = k 3 y2 (t),

[ДС3]

ïT3

+ y

Решать эту систему надо относительно y3 (t)

Преобразованная по Лапласу система:

Виды

x(t)

у1(t)

у2(t)

у3(t)

1(t)

1·t

W1(s)

входящих

возмущений

W1 (s) = T1 k× s1+ 1

W2 (s) = T2 k× s2 + 1

W3 (s) = T3 k× s3 + 1

Y3 (s) = Y2 (s)×W3 (s)

Y2 (s) = Y1 (s)×W2 (s) ÞY3 (s) = X(s)×W1 (s)×W2 (s)×W3 (s) Y1 (s) = X(s)×W1 (s)

Y3 (t) = L−1 {Y3 (s)}

Программа для решения задачи в среде MathCad Prof. RZDLaplace.

при x(t) = 1(t)

x(t)

y(t)

A(w) =

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

k1 := 1			k 2 := 1		k 3 := 1
T1 := 1		k1	T2 := 2	k 2	T3 := 4			k 3		А·1(t)
W1 (s):=			W2 (s):=		W3	(s):=
	T1	× s + 1		T2 × s + 1			T3	× s	+ 1

A := 2

x(t):= A ×1

W(s):= W1 (s)× W2 (s)× W3 (s)

	laplace,t	ü		}A		t


X(s):= x(t)		ï	®	2
		ï		2
	float,4	ýобращенение к функции laplace			- решение,
	float,4	ýобращенение к функции laplace		s	- решение,
	123	ï		s
	точность 4 знакааþ
	точность 4 знакааþ

которое выдаст компьютер.

inlaplace,s → решение системы дифференциальных уравнений
Y(t):= X(s)× W(s)float,4	- 0,6667 × exp(- 1× t)+ 4 × exp(- 0.5 × t)- 5.330 × exp(- 0.25 ×

t → 0 ÷ ∞

Если строить график, необходимо задать определенный промежуток t.

			Интегральные преобразования Фурье.
x(t)		у(t)	Преобразование Лапласа s = −α + jω
	W(s)

Физического смысла такое преобразование не имеет. Фурье ввел s = jω , имеет физический смысл.

t)+ 2

∞

Y(jw) = ò Y(t)e− jωtdt = F{Y(t)}- прямое преобразование Фурье.

x(jω)

у(jω)

W(jω)

W(jw)- комплексно-частотная характеристика (КЧХ)

W(jw) = W(s)

s=jω

ПРИМЕР:

dy(t)

Апериодическое звено: T ×

+ y(t) = k

× x(t)

Y(s)

W(s) =

( )

× s + 1

X s

W(jw)

Y(jw)

® КЧХ

X(jw)

Ta × jw + 1

W(jw)

ka (- Ta × jw + 1)

- j

ka × Ta × w

(T × jw + 1)(- T × jw + 1)

T2w2 + 1

14243

Re(ω)

Im(ω)

W(jw) = A(w)× ejϕ(ω)

A(w) = Re2 (w)- Im2 (w)

j(w) = arctg Re((w))

Im w ka

Ta2w2 + 1

j(w) = -arctg(Ta w)

W(jw) =	ka

	T2w2	+ 1
	T2w2	+ 1
	a

-модуль (или АЧХ)

-ФЧХ

× exp[- jarctg(Ta w)]

АЧХ строятся при ω = 0 ÷ ∞

jIm(ω)

Re(ω)

ω = 0

ka ka

wi = 1

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc							16
	ìRe(w) = k
w = 0	îíIm(w) = 0a
	ìRe(w) = 0
w = ¥	ï			p
w = ¥	í			p
	ï- arctg(Ta w) = -			2
	î	1		2	k
При w =		1	, j(w) = -45 ,	А(w) =	k	a
При w =			, j(w) = -45 ,	А(w) =
		Ta		2

-А(ω)

АЧХ

ωi ω

jIm(ω)

kа1= kа2

ωi

-А(ω) АЧХ

-φ(ω)			h(t)	1	2
		- p		1	2
		- p			kа1= kа2
		2
	ωi	ω		Та1	t
				Та2
			2 апериодических звена
	Re(ω)	- При одних и тех же частотах амплитуды различаются/

ωi

- Для безинерционных систем диапазон частот бесконечен.

Построение переходных характеристик с применением обратного преобразования Фурье.

Входное воздействие: x(t) = 1(t)

ωсрез

h(t) =

Re{W(jw)}× Sinwt × dw

Необходимо знать КЧХ W(jw)

ПРИМЕР (см. ранее).

x(t)

у(t)

W1(s)

k 3 :=

k1 :=

k 2 :=

T1 :=

T2 :=

T3 :=

W1 (jw):=

(jw):=

k 2

W3 (jw):=

k 3

× jw + 1

W(jw):= W1 (jw)× W2 (jw)× W3 (jw)

Wcp := 0.2

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc					17
h(t):=	2	ωср	Re{W(jw)}
	2	ò	Re{W(jw)}	× Sinwt × dw
	p	ò	w	× Sinwt × dw
	p	0	w
3		0			Если помножить на 2.


h(t)

0 t 30

Re{W(jω)}

(0.01÷0.03)Re(0) - к выбору частоты среза

ωср ω

4. Элементарные динамические звенья.

4.1. Общие сведения.

Элементарное динамическое звено (ЭДЗ) – ЛДС, описываемая дифференциальными уравнениями не выше 1-ого порядка.

Дифференциальное уравнение в общем виде: T	dy(t)	+ y(t) = k × T	dx(t)	+ k × x(t)
	dt		dt
1,y		1,x
Свойства ЭДЗ:				x(t)		y(t)
1. детектируемость – означает, что ЭДЗ однонаправленные – сигнал

проходит со входа на выход, а не наоборот.					ЭДЗ

2.автономность – свойства одного звена не влияют на свойства другого (свойства звена определяются постоянными Т1,х; Т1,у; k).

4.2. Пропорциональное звено (П-звено).

x(t)

jIm(ω)

y(t) = k × x(t)

x(t)

( )

y(t)

h t

Re(ω)

x(t)

y(t)

A(ω)

y(s)

k·x(t)

W(s) = x(s)

= k - передаточная функция

W(jw) = k - КЧХ,

будет представлена

h(t)

φ(ω)

для

любых

частот КЧХ

k·1(t)

φ(ω) = 0

вектором.

A(w) = k

j(w) = 0

ПРИМЕР: - пассивный четырехполюсник.

Uвх

Uвых

Þ U

вых

× U

вх

R1 + R2

{

Uвх

Uвых

y(t )

14243

x(t )

Разностное уравнение: y j+1

= k × xj

- применяется при имитационном моделировании

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

4.3. Интегрирующее звено (И-звено).

T	dy(t)	= x(t)
	dt
и
Tи - постоянная времени (интегрирования)
t		1		t	1
òdy(t) =				× x(t)× òt Þ y(t) =		× x(t)× t
			Tи
0				0	Tи

Кривые разгона y(t), переходные характеристики h(t)

x(t)				jIm(ω)		ω→∞ Re(ω)
	x(t)=А·1(t)		КЧХ			ω→∞ Re(ω)
	x(t)=А·1(t)					j(w)= -	p
		t			ωi		p
		t			ωi
y(t)					ωi-1	2
y(t)					ωi-1	W(jω)
	y(t)=x(t)					W(jω)
	y(t)=x(t)
		t				ω→0
h(t)	Tи		A(ω)
h(t)	1(t)		A(ω)			A(ω) AЧХ
						A(ω) AЧХ

		t				ω
φ(ω)	Tи
φ(ω)	ϕ(ω)= −	π ФЧХ
	ϕ(ω)= −	π ФЧХ
		2 ω
Разностное уравнение: T			y j+1 − y j	= x
Разностное уравнение: T				= x	j
		и	Dt		j
			Dt

t - шаг (выбирается): Dt = t j+1 - t j

y j+1 = y j + Dt × xj

Tи

Требуется задание начальных условий: у0 ¬ 0, х0 ¬ 0

Передаточная функция:

Tи × s × y(s) = x(s)Þ

y(s)

x(s)

× s

КЧХ:

W(jw)

s= jω =

= -j

T × jw

T × w

1и23

Im(ω);{Re(ω)=0}

W(jw) =

× e− j

T × jw

Если подавать на вход гармонические колебания, то на выходе сигнал будет

отставать на p2 .

wi f wi−1

ПРИМЕР: емкость постоянного сечения, в которую наливают воду с постоянным расходом.

Gприток	H
	t
Gсток=const

4.4. Апериодическое звено (А-звено).

Tа dydt(t) + y(t) = kа × x(t)

Апериодическое, так как решение – экспонента, нет колебаний.

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

y(t) = x(t)× k

ç1

- e

Tа ÷

h(t) = k

- e

Tа ÷

а ç

W(s) =

y(t)

kа

(

)

× s + 1

x t

W(jw)

= jw

× e- jarctg(Taw)

2w2

+ 1

jIm(ω)
ka
	Re(ω)
ω = ∞ φ(ωi)	ω = 0
А(ωi)
ωi

Разностные уравнения (для имитационного моделирования, числовые решения)

y j+1 − y j

+ y

= k

× x

Þ y

= ...

j+1

ПРИМЕРЫ:

1) При - H Þ Gст - и наоборот.

Gприток

И-звено

А-звено

Gсток=f(H)

dUвых

I = C ×

Uвх

Uвых

I =

Uвх - Uвых

R × C ×

dUвых

+ U

= U ,

k = 1

{

{ {

вых

вх

y(t)

x(t )

Та=R·C

				4.5. Реальное дифференцирующее звено
T	dy(t)	+ y(t) = k		× T	dx(t)
	dt				dt
д			д	д

(идеальное дифференцирующее звено dydt(t) = 0 )

W(s)= Y((s)) = k д × Тд × s

X s Tд × s + 1

y(t) = L-1 {x(t)× W(s)}

W(s)s®¥ = k д

t®0

W(jw)		=	k д × Тд × jw	=	k	д × Тд × w		× e- jarctg(Тд ×w)
			k д × Тд × jw		k	д × Тд × w
	s= jw		Тд × jw + 1
						T2w2	+ 1


						д

(РД-звено).

x(t)

x(t)=А·1(t) t

y(t) А·kд

Tд

h(t) kд ·1(t)

Tд

Теория автоматического управления (лекции) п.п. all.doc

Выходные колебания в такой системе опережают

jIm(ω)

КЧХ

входные.

w = 0;

( )

Re(ω)

j w

w = ¥;

j(w) = 0

ω = 0

ω = ∞

ПРИМЕР: РД-звено – пассивный четырехполюсник.

kд

I = C

dUc

= C

d(Uвх - I × R)

dUвх

- C × R

C × R

I =

C × R dUвх

Uвх

I R

Uвых

k д =

(

)

( )

; Tд = C × R ; I = y t ; Uвх

® x t

Uвх

dy(t)

dx(t)

+ y(t) = k д × Tд ×

1(t)

1/R

Tд dt

R·C

Если R → 0 , то получим идеальное дифференцирующее звено; k д × Tд = const .

Разностное уравнение.

П-звено: k д ;

k д

x(t)

П-звено

y(t)

А-звено:

× s + 1

Обычно РД-звено представляют так:

у2

= k

k д

k д × Tд × s

- передаточная

А-звено

РД-звено

рд

Tд × s + 1

функция.

ìy1j+1 = k д × xj

íy2j+1

1 - T

× y j + k д × T

× x

- разностные уравнения.

= y1j+1 + y2j+1

îy j+1

		4.6. Запаздывающее звено (З-звено).
		(Звено транспортного запаздывая).
x(t)			ПРИМЕР:
x(t)			t = L , V – скорость.
1(t)			t = L , V – скорость.
1(t)	t	y(t)	V
		y(t)	y(t) = x(t)- t
транспортер			- уравнение З-звена.
транспортер		1(t) t	Разностное уравнение:
		1(t) t	Разностное уравнение:		t ö
L		τ	æ	-	t ö
L		τ	y j+1 ¬ ifçt j p t,0,xj	-	÷
			è		Dt ø

Если t j p t , то y j+1 = 0 , иначе y j+1 = xj -		t

		Dt
W(jw) = 1× e- jwt - КЧХ З-звена			jIm(ω)
t - временной сдвиг, w - частота.			jIm(ω)
t - временной сдвиг, w - частота.	ω→∞
Фазовый сдвиг = w × t	ω→∞
Фазовый сдвиг = w × t
Знак «-» означает запаздывание.

W(s)jw®s = e-s×t -передаточная функция.

ω = 0 Re(ω)

А(ω)=1

x(t)

y(t)

А(ω)

-φ(ω)

x(t)

y(t) = x(t)

1,0

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория автоматического управления

#
11.02.2014832.07 Кб28tau lekcii 2006.pdf
#
11.02.201440.96 Кб16tau_voprosy_2007.doc