6. Свойства значения игры и оптимальных стратегий

Рассмотрим свойства решений матричной игры. Мы уже знаем, в чем состоят принцип максимина и принцип равнове­сия. Мы выяснили также, что эти принци­пы, примененные к смешанному расширению матричной игры, эквивалентны. Оказывается, что придерживаясь этих принципов, мы автоматически придерживаемся еще более естественного и простого принципа доминирования. Этот принцип можно сформулировать так: игрок не дол­жен использовать с положительной вероятностью те чис­тые стратегии, применяя которые, он при всех действиях другого игрока выигрывает строго меньше, чем при ис­пользовании некоторой другой стратегии.

В отличие от принципа максимина и принципа равно­весия принцип доминирования не приводит к понятию ситуации, которая удовлетворяет этому принципу. Это принцип запрета.

Для матричной игры Г_А имеет место соотношение

, (2.39)

причем внешние экстремумы достигаются на оптимальных стратегиях игроков.

Для пояснения достаточно заметить, что по определению значения игры

, (2.40)

а внутренние экстремумы можно заменить на экстремумы, распространенные по множествам чистых стратегий.

После этого остается вспомнить, что экстремумы в (2.40) достигаются именно на оптимальных стратегиях игроков. ٱ

Из этого утверждения получается много полезных свойств значения игры и оптимальных стратегий игроков:

1. Для любой матрицы H

. (2.41)

2. Если игрок I имеет чистую оптимальную стратегию i₀, то

. (2.42)

Если игрок 2 имеет чистую оптимальную стратегию j₀, то

. (2.43)

Теоретико-игровой смысл этого утверждения в следующем: Первый игрок получает максимин выигрыша, если противник знает применяемую им чистую стратегию. Но если некоторая его чистая стратегия оптимальна, то это значит, что он может ее применением и ограничиться, а его противник может действовать с учетом этого обстоятельства. Выражаясь несколько вольно, можно утверждать, что наличие у игрока чистой оптимальной стратегии отражает некоторые неблагоприятные для него условия игры, не позволяющие ему «запутывать» противника.

3. Для любых и должно быть

. (2.44)

Кроме того, для оптимальности стратегии X необходимо и достаточно, чтобы левая сторона этого соотношения обращалась в точное равенство:

, (2.45)

а для оптимальности стратегии Y необходимо и достаточно, чтобы точным равенством оказалась правая сторона соотношения (2.44):

. (2.46)

4. Иногда бывает удобно проверять оптимальность стратегий X и Y, записывая равенства (2.45) и (2.46) в виде неравенств, которые в действительности оказываются равносильными равенствам:

, (2.47)

. (2.48)

В самом деле, в (2.47), равно как и в (2.48), строгого неравенства быть не может, так как это противоречило бы определению значения игры (именно, противоречило бы соотношению (2.44)).

5. Неравенства (2.47) и (2.48) можно записать соответственно в виде

для всех j=1,…,n, (2.49)

для всех i=1,…,m, (2.50)

так что эти неравенства также оказываются необходимыми и достаточными признакам оптимальности стратегий игроков.

6.Следующие критерии оптимальности стратегий игроков в матричной игре не предполагают знания значения этой игры.

Если X и Y – соответственно стратегии игроков 1 и 2, а v – некоторое число, причем

, (2.51)

то X и Y – оптимальные стратегии игроков, а v = v_H.

7. Если X и Y – стратегии игроков 1 и 2, а v – число, причем

(2.52)

для любых i=1,…,m и j=1,…,n,

то X иY – оптимальные стратегии игроков, а v=v_H.

8. Если X и Y – стратегии игроков 1 и 2, то для их оптимальности достаточно соблюдения неравенства:

. (2.53)

9.Далее возможно от неравенства между экстремумами можно перейти к неравенствам между конкретными значениями выигрышей.

Если стратегии X иY игроков 1 и 2 таковы, что

(2.54)

для любых i=1,…,m и j=1,…,n,

то эти стратегии оптимальны.

Это следует из того, что утверждения (2.54) и (2.53) равносильны. ٱ

10.Отметим в заключение одну простую связь между значениями игры и ее подигр. Если Г_H есть x’ – подигра игры Г_H, а - ее y’ – подигра,

то . (2.55)