2. Основное уравнение динамики

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме:

При уравнение примет вид

.

В этих уравнениях - геометрическая сумма сил, действующих на точку, - импульс, - масса, - скорость и - ускорение материальной точки.

примеры решения задач

Задача 1. Тело массой кг движется по вертикальной стене. Сила действует под углом  = 30⁰ к вертикали. Коэффициент трения . Найти величину силы , если ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с².

Н а тело действуют четыре силы: сила , сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения . Покажем эти силы на рисунке.

Запишем II закон Ньютона в виде

. (1)

Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно стене. В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид

OХ: , (2)

OY: . (3)

Сила трения скольжения

. (4)

Используя (2) и (4), перепишем (3):

.

Отсюда

Н.

Ответ: Н.

Задача 2. В лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением 0,2 м/с ², вращается столик с угловой скоростью рад/с. На столике лежит брусок, коэффициент трения равен 0,1. Найти максимальное расстояние между бруском и осью вращения, при котором он удерживается на столике. Принять g = 9,8 м/c ²,

Б русок участвует в двух движениях одновременно: поступательно движется вверх с ускорением и вращается вокруг неподвижной оси с центростремительным ускорением . Запишем II закон Ньютона для бруска:

, где .

Выберем оси координат OX и OY. В координатной форме основное уравнение движения примет вид

(1)

(2)

где a_n = ² R, F_TP = μN .

Из (2) N = m (a₁ + g),

F_TP = m (a₁ + g).

Перепишем (1):

m²R =m (a₁ + g).

Получим, что

.

После подстановки данных и вычислений R = 0,1 м.

Ответ: R = 0,1 м.

З адача 3. С вертолёта, неподвижного висящего на некоторой высоте над поверхностью земли, сброшен груз массой m. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости (F_сопр = kV), определить, через какой промежуток времени ускорение груза a₁ = g/2. Коэффициент сопротивления k = const.

Учитывая, что a = dV / dt , F_сопр= kV , получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Проинтегрируем:

Получим:

Отсюда

.

В момент времени t = t₁ ускорение a₁ = g/2:

После логарифмирования:

.

Получим

.

Ответ: .

задачи для самостоятельного решения

2.1. Наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол α = 30⁰, имеет длину l = 167 см. За какое время тело соскользнет с нее, если коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,2?

2.2. Автомобиль массой m = 2,5 т поднимается в гору (α = 30⁰) ускоренно и за время t = 5 мин проходит путь S = 9 км. Начальная скорость автомобиля V₀ = 1 м/с, а коэффициент трения μ = 0,1. Какова сила тяги мотора автомобиля F?

2.3. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30⁰. Каково ускорение бруска, если коэффициент трения его о поверхность плоскости μ = 0,4?

2.4. За какое время тяжелое тело спустится с вершины наклонной плоскости, высота которой h = 2 м, угол наклона α = 45⁰? Предельный угол, при котором тело находится в покое, для этой плоскости равен α_пр = 30⁰.

2.5. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 30⁰. Ее длина l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость μ.

2.6. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. Ее длина l = 2 м, коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,2. Какова скорость тела в конце наклонной плоскости, если его начальная скорость V₀ = 0?

2.7. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = ct², где с = 1,5 м/с². Найти коэффициент трения тела о плоскость μ.

2.8. На наклонной плоскости длиной l = 13 м и высотой h = 5 м лежит груз массой m = 26 кг. Коэффициент трения груза о плоскость μ = 0,5. Какую силу F надо приложить к грузу: а) чтобы втащить груз; б) чтобы стащить груз?

2.9. Мальчик тянет по горизонтальной дороге санки с грузом. С каким ускорением a движутся санки, если сила тяги F = 200 Н, а веревка образует с горизонтом угол α = 45⁰? Масса санок m = 50 кг. Коэффициент трения полозьев санок μ = 0,1.

2.10. Два связанных груза массами m₁ = 3 кг и m₂ = 5 кг лежат на горизонтальном столе, шнур разрывается при натяжении Т = 24 Н. Какую максимальную силу F можно приложить к грузу массой m₁? Коэффициент трения принять равным μ = 0,2.

2.11. Ракета движется в поле силы тяжести Земли: а) вниз с возрастающей скоростью; б) вверх с торможением. В каждом случае сравнить вес тела, лежащего на полу ракеты, с силой тяжести.

2.12. Шарик массой m висит на нити, которая закреплена. С каким ускорением a и в каком направлении следует перемещать точку подвеса, чтобы натяжение нити было равно половине силы тяжести шарика?

2 .13. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны два груза массами m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг. Центры масс грузов находятся на расстоянии h = 1 м друг от друга. За какое время t их центры масс будут на одной высоте?

2.14. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны два груза массой по m = 95 г каждый. На левый груз кладут перегрузок массой m₁ = 7,5 г, а на правый – m₂ = 2,5 г. Какой путь S пройдёт левый груз за t = 2 с? Трением пренебречь.

2 .15. Неподвижный блок укреплен на углу стола. Два груза массами m₁ = 0,5 кг и m₂ = 2 кг соединены нитью, которая, перекинута через блок. Коэффициент трения второго груза о поверхность стола μ = 0,05. Определить силу давления F на ось блока.

2.16. Грузы массами m₁ = 5 кг и m₂ = 2 кг соединены нитью, которая перекинута через блок. Определить коэффициент трения между столом и грузом массой m₂, если ускорение грузов a = 5,4 м/с².

2.17. Невесомый блок укреплен на конце стола. Грузы массами m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг соединены нитью, которая перекинута через блок. Найти коэффициент трения груза  о стол, если сила давления на ось блока F = 1 Н. Трение в блоке мало.

2 .18. Невесомый блок укреплен на вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. Грузы массами m₁ = 20 кг, m₂ = 12 кг соединены нитью, которая перекинута через блок. Грузы движутся c ускорением a = 4 м/с². Определить коэффициент трения груза массой m₂ о плоскость. Трением в блоке пренебречь.

2.19. Ящик массой m = 300 кг поднимают равномерно по наклонной плоскости с углом наклона α = 30⁰, прилагая силу, направленную под углом β = 60⁰ к горизонту. Определить эту силу, если коэффициент трения ящика о плоскость μ = 0,1.

2.20. По столу тянут груз при помощи нити, прикрепленной к динамометру. Динамометр показывает 30 Н. Затем тот же груз приводят в движение при помощи нити, перекинутой через невесомый блок, на конце которой висит груз 3 кг. С одинаковым ли ускорением будет двигаться груз?

2.21. Тело массой m движется вверх по вертикальный стене под действием силы F , направленной под углом α к вертикали. Определить, с каким ускорением движется тело, если коэффициент трения тела о стенку равен μ?

2.22. По канатной дороге, идущей с уклоном α = 30⁰ к горизонту, спускается вагонетка массой m = 500 кг. Определить натяжение каната при торможении вагонетки в конце спуска, если скорость вагонетки перед торможением была V₀ = 2 м/с. Коэффициент трения принять равным μ = 0,01.

2.23. Маневровый тепловоз массой M = 100 т тянет два вагона массой по m = 100 т с ускорением a = 0,1 м/с². Найти силу тяги тепловоза F и силу натяжения сцепок T, если коэффициент трения равен  = 0,006.

2.24. Ящик массой m = 10 кг перемещают по полу, прикладывая к нему силу F под углом α = 30⁰ к горизонту. В течение времени τ = 1 с скорость ящика возросла с V₁ = 2 м/с до V₂ = 4 м/с. Коэффициент трения скольжения между ящиком и полом μ = 0,15. Определить силу F.

2.25. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F. Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициентов трения брусков о плоскость?

2.26. Два шарика а и b, подвешенные на нитях в общей точке, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости .

2.27. На тросе длиной l подвешено тело массой m. На какой максимальный угол можно отклонить его, чтобы при движении груза трос не оборвался? Трос может выдерживать нагрузку, превосходящую силу тяжести тела в n раз.

2.28. Грузик, привязанный к шнуру длиной l = 1,5 м, вращается в горизонтальной плоскости с частотой n = 28 об/мин. Какой угол  с вертикалью образует шнур?

2.29. Велосипедист, движущийся по горизонтальной поверхности со скоростью V = 36 км/ч, описывает мертвую петлю. Определить максимальный радиус петли R.

2.30. Шарик лежит на желобе, который может вращаться вокруг оси 0С. Желоб закреплен в т. 0. На каком расстоянии от точки 0 шарик будет в равновесии при вращении желоба с частотой n = 45 об/мин? При этом желоб образует угол α = 45⁰ с вертикалью. Коэффициент трения шарика о желоб μ = 0,2.

2.31. Нить математического маятника отклонили до горизонтального положения и отпустили. Какова минимальная прочность нити F, если масса маятника m?

2.32. Самолет описывает мёртвую петлю радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила, с которой летчик давит на сидение в нижней точке петли, больше силы тяжести летчика? Скорость самолета V = 100 м/с.

2.33. Грузик, привязанный к нити длиной l = 1 м, вращается в горизонтальной плоскости. Определить период вращения грузика T если нить отклонилась на угол α = 60⁰от вертикали.

2.34. Сравнить модуль силы натяжения нити математического маятника в крайнем положении с модулем силы натяжения нити конического маятника; длины нитей, массы грузиков и углы отклонения маятников одинаковы.

2.35. Гиря массой m = 100 г вращается на нити в вертикальной плоскости с постоянной скоростью. На сколько отличается сила натяжения нити при прохождении гири через нижнюю и верхнюю точки ее траектории движения?

2.36. Груз массой m = 25 кг подвешен на цепи длиной l = 2,5 м с прочностью на разрыв F = 500 Н. На какой угол  можно отвести груз, чтобы цепь при качаниях груза не разорвалась?

2.37. Дорожка для велосипедных гонок имеет закругление радиусом R = 40 м. В этом месте дорожка сделана с наклоном в  = 30⁰. На какую скорость  рассчитан такой наклон?

2.38. Самолет, летящий со скоростью V = 900 км/ч, делает "мертвую петлю". Каков должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая сила давления летчика на сидение была в пять раз больше силы тяжести?

2.39. Гирька, привязанная к нити длиной l = 25 см, вращается в горизонтальной плоскости. Скорость вращения гирьки соответствует n = 2 об/с, масса ее m = 60 г. Найти натяжение нити F.

2.40. Полусферическая чаша радиусом R вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. В чаше лежит шарик М, вращающийся вместе с нею. В каком месте чаши он находится? (Рассчитать угол α, который характеризует положение шарика).

41. С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м? На какой угол от вертикали  он должен при этом отклониться? Коэффициент трения скольжения μ = 0,4.

2.42. Небольшое тело скользит вниз с вершины сферы радиусом R. На какой высоте h от вершины сферы тело оторвется от её поверхности? Трением пренебречь.

2.43. Автомобиль массой m = 3 т движется с постоянной скоростью V = 36 км/ч по выпуклому мосту радиусом R = 20 м. С какой cилой F давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α = 30⁰ c вертикалью?

2.44. С какой минимальной угловой скоростью ω нужно вращать ведерко в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода? Расстояние от поверхности воды до центра вращения равно l.

2.45. Автомобиль движется по выпуклому мосту радиусом R = 40 м. Какое максимальное горизонтальное ускорение может развить автомобиль в высшей точке моста? Скорость его в этой точке V = 50,4 км/ч, а коэффициент трения его колес о мост μ = 0,6.

2.46. Какую минимальную скорость V должен иметь математический маятник, проходя через положение устойчивого равновесия, для того чтобы он мог вращаться по кругу в вертикальной плоскости?

2.47. С какой скоростью V должен въехать велосипедист в нижнюю точку "мертвой петли" радиусом R = 6 м, чтобы не сорваться вниз?

2.48. Привязанную гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Какой угол  с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения равна силе тяжести гири?

2.49. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n = 10 об/с. Масса маховика m = 100 кг.

2.50. Сосуд с жидкостью вращается с частотой n = 2 об/c вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r = 5 см от оси?

2.51. Тело соскальзывает с вершины наклонной плоскости, основание которой d = 2,0 м. Коэффициент трения равен μ = 0,25. При какой высоте плоскости время, за которое тело соскользнет с плоскости, будет наименьшим?

2.52. Тело массой m = 50 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения μ = 0,4. Под каким углом к горизонту α надо приложить к телу силу F = 300 Н, чтобы тело двигалось с наибольшим ускорением? Каково наибольшее ускорение?

2.53. Ведерко с песком и груз в начальный момент времени имеют одинаковую массу m₀ = 0,5 кг и связаны нитью, перекинутой через невесомый блок. При t = 0 из ведерка через отверстие в дне начал высыпаться песок в количестве μ = 50,0 г/с. Пренебрегая трением в блоке, найти, какое расстояние пройдет груз за первые 5 cекунд движения (считать, что за это время песок высыпался не полностью).

2.54. Два связанных веревкой груза массами m₁ = 10,0 кг и m₂ = 20,0 кг тянут по горизонтальной поверхности, прикладывая cилу F = 100 Н к одному из них. Под каким углом  к горизонту надо приложить силу F, чтобы ускорение грузов было наибольшим? Рассчитать наибольшее ускорение, если коэффициент трения грузов о поверхность μ = 0,3.

2.55. На гладкой цилиндрической поверхности радиусом R = 1,0 м лежит гибкий шнур. Верхняя точка поверхности делит шнур на части, длина которых l₁ = π/6 м и l₂ = π/4 м. Шнур расположен перпендикулярно образующей цилиндра, и в момент времени t = 0 его скорость V₀ = 0. Пренебрегая трением, найти ускорение шнура, с которым он начнет соскальзывать с поверхности.