1. Кинематика

Положение материальной точки в пространстве задается радиус-

вектором:

,

где - единичные векторы, x,y,z- декартовы координаты точки.

Быстроту изменения положения точки в пространстве с течением времени характеризует скорость.

Средняя скорость

,

где - перемещение точки за время t.

Мгновенная скорость

,

где .

Модуль скорости

Быстроту изменения вектора скорости с течением времени характеризует ускорение.

Среднее ускорение

.

Мгновенное ускорение

где .

При движении точки вдоль оси OX

;

где V_0X и х₀ - скорость и координата в момент времени t=0.

При равнопеременном движении(a_X=const) вдоль оси ОХ

В случае криволинейного движения

,

где - нормальное ускорение, характеризует изменение скорости по направлению и направлено к центру кривизны в данной точке траектории; - тангенциальное ускорение, характеризует изменение скорости по величине и направлено вдоль касательной в данной точке траектории.

Модуль полного ускорения

,

где - радиус кривизны траектории.

Положение твердого тела при вращении вокруг оси определяется углом поворота .

Средняя угловая скорость

где  - изменение угла поворота за интервал времени t.

Мгновенная угловая скорость

Угловое ускорение

Кинематические уравнения при вращении твердого тела:

где ₀ и ₀ - начальные угловая скорость и угол поворота.

При равнопеременном вращении

.

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки:

; .

примеры решения задач

Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м). Определить скорость точки в моменты времени t₁=2 с и t₂=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t₁ до t₂.

Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае

(м/с).

Найдем V₁ и V₂:

, м/с;

, м/с.

Средняя скорость

где

м/с.

Ответ: V₁=7 м/с, V₂=11,4 м/с, м/с.

Задача 2. С башни высотой Н = 25 м бросили камень со скоростью V₀ = 15 м/с под углом  = 30⁰ к горизонту. Через какое время t_п и на каком расстоянии S от основания башни камень упадет на землю?

Начало отсчета возьмем у основания башни.

Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – горизонтально. Движение камня вдоль оси OX равномерное, вдоль оси OY – равнопеременное:

где , y₀=H , ,

Общие уравнения движения камня в выбранной системе отсчета примут вид

В момент падения камня t=t_n, x=S, y=0.

(1) (2)

Решая квадратное уравнение (2), найдем t_n=3,1c.

Подставим t_n в (1), получим S=41м.

Ответ: t_n=3,1с, S=41м.

Задача 3. Небольшое тело движется по окружности радиусом R со скоростью V=kt где k=const. Найти зависимость полного ускорения от времени.

На рисунке покажем полное ускорение тела и его составляющие.

, ;

.

Модуль тангенциального ускорения

.

Модуль нормального ускорения

.

Модуль полного ускорения

Ответ:

Задача 4. Найти величину углового ускорения лопатки турбины, расположенной на расстоянии R от оси вращения, через время t₁ после пуска турбины. Зависимость линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением где a и b - постоянные коэффициенты. Найти число оборотов N₂ через время t₂ после пуска турбины. Принять ₀=0.

Угловое ускорение

Используем связь угловой скорости с линейной:

.

Найдем зависимость углового ускорения от времени:

В момент времени

.

Угловая скорость

Выразив угол  через число оборотов (=2N₂) и зная  как функцию времени, получим

Число оборотов лопатки

Ответ: ; .

задачи для самостоятельного решения

1.1. Свободно падающее тело последние 196 м пути прошло за 4 с. Найти время падения.

1.2. Во сколько раз отличается время движения катера туда и обратно по реке и по озеру? Скорость течения реки 3 км/ч, скорость катера относительно воды в обоих случаях 9 км/ч. Расстояние считать одинаковым.

1.3. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?

1.4. Два тела свободно падают с разных высот и достигают земли одновременно. Первое тело падало в течение 2 с, второе - 1 с. На какой высоте было первое тело, когда второе начало падать?

1.5. С балкона бросили мяч вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 5 м/с. Через время τ = 2 c мяч упал на землю. Определить высоту балкона и модуль скорости мяча в момент удара о землю.

1.6. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно за другим, через время τ = 2 с с начальной скоростью V₀₁ = V₀₂ = 29,4 м/с. Через какое время после бросания первого тела они встретятся?

1.7. Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит половину всего пути. Определить высоту, с которой падает тело, и продолжительность его падения.

1.8. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h = 8,75 м два раза с интервалом ∆t = 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость тела.

1.9. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же начального пункта с той же начальной скоростью V₀ вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

1.10. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5 м/с². Определить, на сколько путь, пройденный в n-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять V₀ = 0.

1.11. Поезд метро проходит перегон 2 км за 2 мин 20 с. Максимальная скорость поезда 60 км/ч. В начале и конце перегона поезд движется с постоянными ускорениями, равными по абсолютной величине. Определить эти ускорения.

1.12. Два тела свободно падают одно за другим с одной и той же высоты с интервалом времени τ. Через какое время от начала падения первого тела расстояние между ними будет равно r?

1.13. Наблюдатель стоит в начале электропоезда. Первый вагон прошел мимо него за время τ =1 с. Какое время будет двигаться мимо него седьмой вагон? Движение поезда равноускоренное, его начальная скорость V₀ = 0.