15. Дослідження перехідних процесів в лініях з розподіленими параметрами за допомогою перетворення лапласа

Диференційні рівняння однорідної двопровідної лінії, зважаючи на наявність двох незалежних змінних (t і х), отрималися в часткових похідних

Формула диференціювання по параметру дозволяє застосувати перетворення Лапласа до цих рівнянь, в яких х є параметром.

Якщо зображення цих функцій позначити через

то системі диференційних рівнянь в часткових похідних буде відповідати система рівнянь

(1.54)

Тут i(x, 0) і u(x, 0) - початкові (по часі) значення струму і напруги в точці х.

Зважаючи на те, що р нe залежить від х і похідні по р будуть відсутні, часткові похідні по х замінені звичайними.

Виключаючи з системи (1.54) I, одержуємо рівняння відносно U

(1.55)

Аналогічно, виключаючи з (1.54) U, одержуємо рівняння відносно I

(1.56)

Ці рівняння вирішуються як звичайні диференційні рівняння другого порядку.

Позначимо

і назвемо цей вираз операторним коефіцієнтом розповсюдження, а

операторним хвильовим опором лінії.

При нульових початкових значеннях напруги і струму рівняння (1.55) і (1.56) спрощуються

В загальному випадку перехід від зображень U (x, p) і I(х, р), що є трансцендентними функціями від p, до оригіналів u(x, t) і i(x, t) має значні труднощі.

Виникнення хвиль з прямокутним фронтом

Включення джерела. Для з'ясування фізичної сторони виникнення і руху хвилі розглянемо лінію, що в момент часу t=0 приєднується до джерела постійної напруги U₀ (внутрішній опір джерела рівний нулю). Для джерела синусоїдальної напруги промислової частоти (6000 км) в повітряній лінії за час проходження хвилею відстані в межах декількох десятків кілометрів його напругу також можна лічити постійним.

Після підключення джерела до лінії виникає хвиля з напругою u_п=U₀ що заряджає послідовно один елемент лінії за іншим до напруги U₀.

Припустимо, що в момент t хвиля досягла перетину тп (рис.15). В цей момент в усіх точках x лівіше перетину напруга між проводами дорівнює U₀., а правіше цього перетину напруга дорівнює нулю.

Рис. 15

На поверхні верхнього проводу відбувається нагромадження позитивного заряду, і лівіше перетину тп заряд на одиницю довжини q₀=C₀U₀, а правіше він дорівнює нулю. За час dt хвиля переміститься правіше перетину тп на відстань dx=cdt При цьому елемент лінії dx отримає заряд dq = q₀dx = C₀U₀dx, що повинен пройти по верхньому проводу через перетин тп і через будь-який перетин верхнього проводу лівіше тп. Розповсюдження заряду створює на всьому протязі верхнього проводу від джерела до перетину тп струм

i=dq/dt=q₀ dx/dt=C₀U₀c=I₀.

Водночас з нагромадженням позитивного заряду на поверхні верхнього проводу лінії відбувається нагромадження негативного заряду на поверхні нижнього проводу. Розповсюдження негативного заряду вздовж нижнього проводу з ліва направо зв'язане з електричним струмом в нижньому проводі, направленим в протилежну сторону, т. ч. з права наліво.

Процес розповсюдження зарядів можна уявити собі таким чином, що по мірі переміщення хвилі з ліва направо елементи верхнього проводу один за іншим набувають деякого позитивного заряду і такий же позитивний заряд віднімається від елементів нижнього проводу. Протилежні заряди утворюють електричне поле між проводами на всій довжині дільниці лінії, по якому вже минула хвиля. При виникненні електричного поля у фронті хвилі між знов заряджаємими елементами проводів (тр і nq на рис.15) протікає струм зміщення. Одержується замкнутий ланцюг струму. Від позитивного полюсу джерела струм іде по верхньому проводу, замикається у фронті хвилі струмом зміщення між проводами і після цього іде по нижньому проводу до негативного полюсу джерела. По мірі руху хвилі ланцюг подовжується, але струм в ланцюзі залишається незмінними: I₀=C₀U₀c.

В контурі що утвориться цим ланцюгом виникає магнітний потік, лінії якого лежать в площинах, перпендикулярних осям проводів. При переміщенні хвилі на відстань dx=cdt магнітний потік збільшується на величину dФ=L₀I₀dx=L₀I₀cdt. При виникненні потоку dФ в контурі mpqn наводиться ЕРС самоіндукції

діюча проти направлення руху стрілки годин. Таким чином, ЕРС самоіндукції у фронті хвилі, скерована по лінії qp, дорівнює протилежній напрузі:

Звідки

Енергія, що віддається в одиницю часу джерелом, дорівнює U₀I₀. В одиницю часу хвиля переміщується на відстань, рівну с. На кожному одиничному відрізку лінії, пройденому хвилею, запасається енергія в електричному полі та в магнітному полі. На підставі закону збереження енергії

Підставивши в ліву частину цього рівняння I₀=C₀U₀c, отримаємо співвідношення

Т. ч. для хвилі значення енергії електричного і магнітного полів на ділянці лінії, пройденій хвилею, рівні між собою.

Розглянута вільна має прямокутну форму

При t x/c

При t x/c

І називається хвилею з прямокутним фронтом.

Якщо до лінії підключається джерело з внутрішнім опором r_вн, струм і напруга хвилі стають меншими. В цьому випадку

Звідки

При підключенні генератора з індуктивним внутрішнім опором фронт хвилі змінюється і хвиля перестає бути прямокутною.

Включення навантаження. Хвилі прямокутної форми виникають і при підключенні до зарядженої лінії приймача з резистивним опором.

Розглянемо лінію з хвильовим опором Z_в, заряджену до напруги U₀. Якщо в момент часу t=0 в кінці лінії включається приймальник з опором навантаження r_н (рис.16), то в кінці лінії виникає обернена хвиля, яка рухається від кінця лінії до її початку.

Напруга і струм цієї хвилі можуть бути легко розраховані за допомогою рівнянь, складених за законом Ома для хвилі і для опору навантаження:

Звідки

На рис.16 показані прямокутні хвилі напруги і струму, що виникають в цьому випадку.

Рис. 16

Відключення джерела. При відключенні лінії від джерела живлення в ній також виникають хвилі.

Нехай в лінії з опором навантаження r_н встановився струм I_н=U₀/r_н=U_н/r_н. Якщо в момент t=0 відключити джерело енергії (рис.17), то струм на початку лінії миттєво спаде до нуля і виникне хвиля з напругою і струмом

В результаті накладання цієї хвилі на напругу та струм , що є в лінії i=I_н+i_п=0, а напруга и=U_н+u_п=U_н - Z_в I_н.

Якщо струм навантаження I_н менш зарядного струму I₀ при включенні лінії до джерела постійної напруги U₀=U_н т. ч. I_н < U_н/Z_в, та напруга и=U_н,-Z_в I_н > 0 і на пройденій хвилею ділянці збережеться після відключення деяка частка напруги того ж напрямку (рис.17). Якщо ж I_н > U_н/Z_в, то лінія на ділянці, пройденій хвилею, зарядиться в протилежному напрямі.

Рис.17

Відключення приймальника. При відключенні приймальника (рис.18) в лінії виникає така ж хвиля, як і при відключенні джерела. Різниця полягає тільки в тому, що ця хвиля має протилежний знак і розповсюджується в зворотному напрямі.

В результаті накладення цієї хвилі на режим струму, що передує в лінії I_н+i₀=0, а напруга и=U_н+u₀=U_н+Z_в I_н.

Рис. 18

При відключенні приймальника обернена хвиля викликає підвищення напруги в лінії, яке тим більше, чим більше хвильовий опір лінії. В випадку відключення приймальника від повітряних ліній перенапруження можуть бути надто значними.

За допомогою аналогічних міркувань можуть бути знайдені хвилі, що виникають в більш складних випадках.

Відбивання хвилі з прямокутним фронтом від кінця лінії

Відбивання від резистивного елемента. Розглянемо хвилю з прямокутним фронтом

u_п=U₀; i_п=I₀=U₀/Z_в

яка рухається по однорідній лінії і падає на приймальник з резистивним опором Z₂=r_н (рис.19, а і б). Коли хвиля дійде до кінця (рис.19, в), вона частково відіб'ється. В розглядуваному випадку падаюча хвиля рухається в напрямі зростання х (в прямому напрямі) і може називатися прямою. Відбита хвиля рухається в зворотному напрямі і може називатися оберненою. Однак при дослідженні відбивання хвилі зручніше користуватися поняттями « падаюча і відбита» хвилі, а не «пряма і обернена».

Рис. 19

Для визначення умов відбивання хвилі знайдемо струм в опорі r_н. Напруга в кінці лінії и₂=u_п +u₀, а струм i₂=i_н - i₀. Тому струм відбитої хвилі i₀=i_п-i₂=I₀ - i₂ і напруга u₂ =Z_в i₀=Z_в (I₀ - i₂)=U₀ - Z_в i₂. Напруга

u₂=r_н i₂=U₀ +u₀=2U₀-Z_в i₂. (1.57)

Звідки

(1.58)

З (1.58) слідує, що струм в опорі r_н рівний струму, що одержався би у схемі з джерелом напруги 2U₀ і опорами r_н і Z_в включеними послідовно.

Напруга в кінці лінії u₂ залежить від значення і знаку відбитої хвилі (рис.19, г). З (1.57) і (1.58) знаходимо

Де - відбивання.

Отже,

Якщо лінія на кінці розімкнена (r_н =), то n=1 і u₀=U₀, і₀=I₀, т. ч. хвиля відбивається повністю без переміни знаку. Напруга в кінці подвоюється: и₂=2U₀, а струм i₂=0.

Якщо лінія на кінці коротко замкнена (r_н =0), то n=-1 і u₀=-U₀, i₀=-I₀, т. ч. хвиля відбивається повністю з переміною знаку. Напруга в кінці лінії u₂=0, а струм i₂=2I₀.

Якщо опір приймальника енергії більше хвильового опору лінії r_н>Z_в, т. ч. n>0, то падаюча хвиля зустрічає в кінці лінії більший опір і напруга в кінці лінії зростає: u₂=(1+n)U₀>U₀. Відбита хвиля має той же знак, що і падаюча. Якщо r_нZ_в, то, це приводить до зниження напруги в лінії. Відбита хвиля має знак, протилежний знаку, і на кінці лінії, падаюча напруга знижується.

Якщо r₂=Z_в, т. ч. n=0, то u₀=0, i₀=0 і відбитої хвилі немає. Як тільки хвиля дійде до кінця, в ланцюзі відразу встановиться незмінний струм, і вся енергія, що доставляється (бігучою) падаючою хвилею поглинається в опорі r_н (погоджене навантаження).

При падінні відбитої хвилі на початок лінії вона повинна розглядатися як падаюча, яка рухається в зворотному напрямі. Хвиля, відбита від початку лінії, буде прямою.

Загальний метод визначення відбитих хвиль.

На практиці часто однорідність лінії порушується - в лінію включаються елементи з зосередженими параметрами, приєднуються лінії з різноманітними хвильовими опорами, причому можуть зустрітися вузли паралельного включення декількох ліній. Для визначення перехідних режимів при падінні хвилі на вузол, так же як і при переключеннях, розроблений загальний метод, що застосовується при будь-якій схемі сполучення ліній і ланцюгів з зосередженими параметрами.

Нехай вздовж лінії з хвильовим опором Z_в1 рухається хвиля довільної форми u_п і i_н, причому u_н=Z_в1 i_н. Ця хвиля може бути і прямокутної форми, і в вигляді імпульсу, і будь-якої іншої форми. Хвиля падає на вузол 2'-2' сполучення або розгалуження, схема якого може бути також будь-якою.

В усіх випадках частина ланцюга, приєднана до лінії в точках 2'-2' праворуч, можна розглядати як пасивний двополюсник (рис.20, а), напруга u₂; і струм i₂ якого подають собою деякі функції часу.

Рис. 20

Виводи двополюсника 2'-2' відносяться і до лінії з хвильовим опором Z_в1, та напруга на цих виводах дорівнює сумі напруг падаючої та відбитої хвиль, а струм - різниці струмів хвиль:

Вирішивши спільно два ці рівняння, отримаємо

(1.59)

Останній вираз є основним розрахунковим рівнянням для визначення напруги і струму в місці відбивання хвилі.

З нього слідує, що струм і напруга в лінії в місці відбивання хвилі такі ж, як і при заміні лінії, по якій рухається хвиля, еквівалентною схемою з зосередженими параметрами, що складається з послідовно включених джерела з ЕРС 2u_п і хвильового опору Z_в1 (рис.20, 6).

Вся частина ланцюга праворуч від вузла 2'-2' може бути також представлена еквівалентною схемою з елементів з зосередженими параметрами.

Таким чином, рішення задачі про перехідний режим в довгій лінії при падінні хвилі на вузол розгалуження може бути зведене до розрахунку перехідного процесу в схемі заміщення з зосередженими параметрами.

На підставі сказаного можна сформулювати наступне правило. При падінні на вузол хвилі з напругою u_п, яка рухається по лінії з хвильовим опором Z_в, напруга і струм в цьому вузлі будуть такими ж, як і при підключенні джерела з ЕРС, рівній напрузі 2u_п, і внутрішнім опором Z_в, безпосередньо до розглядуваного вузла.

Знаючи напругу u₂; і струм i₂, легко визначити відбиту хвилю.

(1.60)

По відомим значенням напруг і струмів падаючої і відбитої хвиль, а отже, прямої і оберненої хвиль можна знайти розподіл напруги і струму вздовж лінії в будь-який момент часу і побудувати графіки.

При рішенні задачі операторним методом залежність між U₂(p) і I₂(р) подається в вигляді

Де Z_н(p) - вхідний опір пасивного двополюсника в схемі заміщення (рис.20, 6).

Рівняння (1.59) і формули (1.60) приймають вигляд

Виключаючи U₂(p) з цих рівнянь, одержуємо

І відповідно

Де n(р) - коефіцієнт відображення в операторній формі:

Багаторазові відбивання хвиль з прямокутним фронтом від резистивного елемента

Включення джерела. Для дослідження багаторазових відбивань хвиль за наявності поглинення енергії на кінцях лінії розглянемо включення лінії, замкнутої на приймальник з резистивним опором r_н=r₂. Джерело живлення постійної ЕРС Е₀ має чисто резистивний внутрішній опір r_в=r₁. В загальному випадку r₂ Z_в і r₁ Z_в.

Обчислимо коефіцієнти відбивання n₁ і n₂ на початку і кінці лінії:

Перша пряма хвиля має напругу, а перша відбита обернена хвиля - напруга .

Аналогічно визначаються відбиті хвилі:,, і т. д.

Таким чином, для k-ої хвилі , а для k+1-ій відповідно .

Накладання цих хвиль дасть значення напруг (і струмів) в будь-який момент часу.

Включення навантаження. Якщо лінія, заряджена до напруги U₀, розряджається з одного з кінців через резистивний елемент з опором r, то зміна напруги і струму в лінії може бути визначена аналогічно попередньому.

Знаходимо коефіцієнти відбивання для початку і кінця лінії:, n₂=1. Струми хвиль

і т. д.;

Враховуючи рівність можна помітити, що кожна наступна зворотна хвиля струму компенсує попередню пряму хвилю і струм на початку лінії завжди рівний струму останньої прямий хвилі. Струм в опорі r по абсолютному значенню такий же і протилежний по знаку.

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА

«Розрахунок параметрів та електромагнітних процесів у довгих лініях»

Для повітряної лінії довжиною відомі опори холостого ходу та короткого замикання при частоті . (N_в - номер варіанту - дві останні цифри номеру залікової книжки).

Визначити:

1. первинні і вторинні параметри лінії, фазову швидкість і довжину хвилі;

2. величини індуктивностей (або ємностей), які необхідно ввімкнути через кожні 10 м лінії для того, щоб лінія була лінією без спотворень. Для лінії без спотворень знайти її найбільшу довжину при допустимому затуханні 10 дБ;

3. коефіцієнт відбиття від кінця лінії, навантаженої опором , напруги прямої і зворотної хвиль в кінці і на початку лінії, якщо напруга на навантаженні ;

4. коефіцієнт бігучої хвилі, нехтуючи втратами і при вказаних у п.3 , і построїти графіки розподілення напруги і струму вздовж лінії, розрахувати пристрій, узгоджуючий лінію з навантаженням ;

5. зміни у часі струму та напруги на початку та кінці лінії, построїти епюри їх розподілення вздовж лінії, якщо хвилевий опір , опір навантаження . До лінії підключений генератор з напругою і внутрішнім опором .

ЛІТЕРАТУРА

1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. - М.: Энергия, 1969. - 424 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1973. - 752 с.

3. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

4. Сборник задач по теоретическим основам електротехники: Учеб. Пособие/ Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под ред. Бессонова Л.А. - М.: Высшая школа, 1980. - 472 с.

39