Текст программы решения системы уравнений методом Гаусса на языке qbasic.

n = 3

m = n + 1

DIM x(n)

DATA 2, 3,1,10,1,4,3,15,4,1,1,12

FOR i = 1 TO n

FOR j = 1 TO m

READ a(i, j)

NEXT j

NEXT i

FOR i = 1 TO n - 1

FOR k = i + 1 TO n

FOR l = i + 1 TO m

a(k, l) = a(i, i) * a(k, l) - a(i, l) * a(k, i)

WRITE a(k, l)

NEXT l

NEXT k

NEXT i

WRITE a(n, n)

x(n) = a(n, m) / a(n, n)

FOR i = n - 1 TO 1 STEP -1

x(i) = a(i, m)

FOR k = i + 1 TO n

x(i) = x(i) - a(i, k) * x(k)

NEXT k

x(i) = x(i) / a(i, i)

NEXT i

WRITE "x1=", x(1), "x2=", x(2), "x3=", x(3)

END

Ответ программы: x1 =2, x2 = 1, x3 =3.

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

.

Если f(x) есть непрерывная на промежутке [a, b] функция, существует первообразная F(x) этой функции и интеграл может быть вычислен с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

= F(b) – F(a). (1)

Однако, известно, что первообразная F(x) не всегда выражается через элементарные функции, и поэтому вычислить интеграл по формуле (1) не представляется возможным. В связи с этим вводятся приближенные формулы определенного интеграла. Эти формулы основываются на геометрическом смысле определенного интеграла. Известно, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции («площади под кривой). Эту площадь и вычисляют приближенно.

Формула прямоугольников.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл (1).

y

y = f(x)

f(x_i + ^h/₂ )

x₀ = a x₁…. x _i x _{i + 1} … b = x_n x

x₀ + ^h/₂ x _i + ^h/₂ x _{n – 1}+ ^h / ₂

Разобьем промежуток [a, b] на n равных частей. Обозначим h длину частичного интервала.

h = ^{(b – a)} / ₂

Через середину каждого частичного интервала проведем прямую и построим прямоугольник. Площадь i + 1 – го прямоугольника равна

h∙f(x _i + ^h / ₂ ) =

Приближенное значение интеграла имеет вид

≈ (2)

Для оценки погрешности применим метод Рунге. По формуле (2) проводим вычисления дважды: при вычислениях на n и на 2n частей; приближенные значения интеграла обозначим соответственно J _n и J_2n . С помощью метода Рунге было доказано, что погрешность при этом удовлетворяет неравенству

.

Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле прямоугольников.

Описание оператора

функции f(x)

Ввод a,b, E [a, b] - отрезок интегрирования

Е – заданная точность

n = 1, h = b – a

s = h*f(^{(a + b)}/ ₂)

n = 2n, h = (b – a)/ h, s1 = s, s = 0

k = 0, n - 1

s = s +f(a + h/2 + n h)

s = s* h

да

|s – s1|>3E

нет

Вывод

s, n, h

end

П р и м е р . Вычислить используя формулу прямоугольников .

f(x) = 8 sin x³ ∙ e ^x, a = 0.4, b = 1.4б погрешность E = 0. 001 .

Ответ программы: = 13.17623, n =128, шаг h = 0.0078125.