- •Численные методы.
- •Действия над приближенными числами.
- •Относительная погрешность.
- •Число верных знаков.
- •Округление чисел.
- •Свойства погрешностей.
- •Универсальный математический пакет программ MathCad: основные сведения.
- •Примеры вычислений в среде MathCad.
- •Найти обратную матрицу
- •Построить график функции
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •Программа на языке qbasic
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод простых итераций (метод последовательных приближений).
- •То итерационный процесс
- •Предельное значение
- •Геометрическая иллюстрация метода итераций.
- •Интерполяция функций. Многочлен Лагранжа.
- •Текст программы на языке qbasic имеет вид
- •Блок-схема программы вычисления процедуры-функции lx() вычисления многочлена Лагранжа k – й степени в точке х1.
- •Интерполяционная функция Ньютона.
- •Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов.
- •Текст программы на языке qbasic имеет вид
- •Текст программы на языке qbasic для вычисления среднего квадратического отклонения.
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •Текст программы решения системы уравнений методом Гаусса на языке qbasic.
- •Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •Формула прямоугольников.
- •Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле прямоугольников.
- •Текст программы на языке qbasic интегрирования по формуле прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле Симпсона
- •Текст программы на qbasic интегрирования по формуле Симпсона.
- •Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
- •Метод Эйлера.
- •Метод Рунге-Кутта.
- •Блок-схема программы вычисления решения дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта.
- •Блок-схема процедуры-функции метода Рунге-Кутта.
- •Расчетные формулы для метода Рунге- Кутта.
- •Результаты работы программы
- •Одномерная оптимизация.
- •Метод дихотомии.
- •Текст программы нахождения минимума методом градиентного спуска.
Численные методы.
Курс численных методов является важной составной частью математической подготовки студентов. Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования привело к тому, что в настоящее время математическое образование инженера не может ограничиться разделами «классического анализа». От современного инженера, работающего в научно-исследовательском институте, требуется основательное владение методами вычислительной математики, т.к. решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата.
Основной задачей дисциплины является приобретение знаний по формализации научно-исследовательских и инженерных задач (составлению математических моделей) и использованию современных средств автоматизации математических расчетов.
Для решения конкретных вычислительных задач студент должен уметь выбирать численные или оптимизационные методы, уметь разрабатывать новые или использовать известные методы для их программной реализации, а также уметь решать поставленные задачи с помощью пакетов прикладных программ.
Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных задач: нахождение корней уравнения, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений, определение экстремумов функции и т.д. Для таких задач разработаны методы решения, созданы программы их реализации на компьютерах. Решение таких задач составляет основу курса численных методов.
Действия над приближенными числами.
Практические расчеты производятся обычно с приближенными числами и по приближенным формулам. Исходные данные для расчетов получают путем измерений, которые всегда содержат какие-либо погрешности. Поэтому возникает вопрос о точности расчета, о количестве цифр, которые следует сохранять при вычислениях.
П р и м е р . Измерив длину комнаты l = 5,82 м и ширину ее h = 3,46 м, считают площадь комнаты равной
S = l ∙ h = 20,1372м2.
Однако, абсолютно точных измерений нет. Допустим, что ошибка при измерении каждого размера комнаты составляет 1 см. При одновременной ошибке в сторону уменьшения результат вычисления площади комнаты будет
S1 = 3б,45 ∙ 5,81 = 20,0445
При ошибке в сторону увеличения:
S2 = 3,47 ∙5,83 = 20,2301.
Как видно, уже первые десятичные знаки результатов различны. Следовательно, удерживать последующие десятичные знаки нет никакого смысла. Сохранение лишних десятичных знаков усложняет расчет, не увеличивая точности результата.
Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях.
Для того чтобы грамотно выполнять действия над приближенными числами, необходимо знать определенные правила. ∙
Абсолютная погрешность.
Абсолютной погрешностью Δ приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е.
Δ= |A – a|. (1)
Нужно различать два случая.
-
число А нам известно, тогда абсолютная погрешность Δ определяется по формуле (1);
-
число А нам неизвестно, что бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можем определить и абсолютную погрешность Δ по формуле (1).
В этом случае вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности Δ вводят ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется всякое число Δа, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.
Пусть Δа – предельная абсолютная погрешность приближенного числа а. Тогда
Δ = |A – a| ≤ Δа. (2)
Отсюда следует, что точное число А заключено в границах
a − Δа ≤ A ≤ a + Δа (3)
a − Δа − приближение числа А по недостатку.
a + Δа − приближение числа А по избытку.
В этом случае для краткости пользуются записью.
А = а ± Δа (3)
П р и м е р . Определить предельную абсолютную погрешность числа а = 3.14, заменяющего число π.
Р е ш е н и е . Т.к. имеет место неравенство
3,14 < π < 3,15, то |a – π| < 0,01,
следовательно, можно принять Δа = 0,01.
Если учесть, что
3,14 < π < 3,142,
то будем иметь лучшую оценку Δа = 0,02.
В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность. Например, если длина отрезка l = 214 см с точностью до 0,5 см, то пишут l = 214 см ± 0,5 см. Здесь предельная абсолютная погрешность Δl = 0,5 см, а точная величина отрезка заключена в пределах
213,5 см ≤ l ≤ 214,5 см.