63

Численные методы.

Курс численных методов является важной составной частью математической подготовки студентов. Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение современных разделов математики в инженерные исследования привело к тому, что в настоящее время математическое образование инженера не может ограничиться разделами «классического анализа». От современного инженера, работающего в научно-исследовательском институте, требуется основательное владение методами вычислительной математики, т.к. решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата.

Основной задачей дисциплины является приобретение знаний по формализации научно-исследовательских и инженерных задач (составлению математических моделей) и использованию современных средств автоматизации математических расчетов.

Для решения конкретных вычислительных задач студент должен уметь выбирать численные или оптимизационные методы, уметь разрабатывать новые или использовать известные методы для их программной реализации, а также уметь решать поставленные задачи с помощью пакетов прикладных программ.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных задач: нахождение корней уравнения, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений, определение экстремумов функции и т.д. Для таких задач разработаны методы решения, созданы программы их реализации на компьютерах. Решение таких задач составляет основу курса численных методов.

Действия над приближенными числами.

Практические расчеты производятся обычно с приближенными числами и по приближенным формулам. Исходные данные для расчетов получают путем измерений, которые всегда содержат какие-либо погрешности. Поэтому возникает вопрос о точности расчета, о количестве цифр, которые следует сохранять при вычислениях.

П р и м е р . Измерив длину комнаты l = 5,82 м и ширину ее h = 3,46 м, считают площадь комнаты равной

S = l ∙ h = 20,1372м².

Однако, абсолютно точных измерений нет. Допустим, что ошибка при измерении каждого размера комнаты составляет 1 см. При одновременной ошибке в сторону уменьшения результат вычисления площади комнаты будет

S₁ = 3б,45 ∙ 5,81 = 20,0445

При ошибке в сторону увеличения:

S₂ = 3,47 ∙5,83 = 20,2301.

Как видно, уже первые десятичные знаки результатов различны. Следовательно, удерживать последующие десятичные знаки нет никакого смысла. Сохранение лишних десятичных знаков усложняет расчет, не увеличивая точности результата.

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях.

Для того чтобы грамотно выполнять действия над приближенными числами, необходимо знать определенные правила. ∙

Абсолютная погрешность.

Абсолютной погрешностью Δ приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е.

Δ= |A – a|. (1)

Нужно различать два случая.

1. число А нам известно, тогда абсолютная погрешность Δ определяется по формуле (1);

2. число А нам неизвестно, что бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можем определить и абсолютную погрешность Δ по формуле (1).

В этом случае вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности Δ вводят ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется всякое число Δ_а, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Пусть Δ_а – предельная абсолютная погрешность приближенного числа а. Тогда

Δ = |A – a| ≤ Δ_а. (2)

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах

a − Δ_а ≤ A ≤ a + Δ_а (3)

a − Δ_а − приближение числа А по недостатку.

a + Δ_а − приближение числа А по избытку.

В этом случае для краткости пользуются записью.

А = а ± Δ_а (3)

П р и м е р . Определить предельную абсолютную погрешность числа а = 3.14, заменяющего число π.

Р е ш е н и е . Т.к. имеет место неравенство

3,14 < π < 3,15, то |a – π| < 0,01,

следовательно, можно принять Δ_а = 0,01.

Если учесть, что

3,14 < π < 3,142,

то будем иметь лучшую оценку Δ_а = 0,02.

В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность. Например, если длина отрезка l = 214 см с точностью до 0,5 см, то пишут l = 214 см ± 0,5 см. Здесь предельная абсолютная погрешность Δ_l = 0,5 см, а точная величина отрезка заключена в пределах

213,5 см ≤ l ≤ 214,5 см.