5. Уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой l в пространстве:

(17)

где – фиксированная точка прямой;

– направляющий вектор прямой l, т.е. любой вектор, параллельный l;

t – числовой параметр.

Каждому значению параметра соответствует единственная точка прямой l.

Канонические уравнения прямой:

. (18)

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и :

. (19)

Углом между прямыми называют угол между их направляющими векторами ={m₁; n₁; p₁} и ={m₂; n₂; p₂}, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

. (20)

Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла между плоскостью и прямой определяется по формуле:

. (21)

Примерный вариант и образец выполнения ргз по теме «Аналитическая геометрия»

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:

А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).

Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точки А(3; 0), уравнение прямой l: 3x = 4 и число λ = 3 : 2.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.

Задача 3. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Решение задачи 1.

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

|BС|==

2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):

y = –2x + 14 – уравнение ВС.

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):

и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим

.

4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK . Так как , то .

Уравнение AK получим по формуле (8):

у – у_А = k_AK(x– x_A) у – (–1) = (x– (–3))

x –2y + 1 = 0 – уравнение AK.

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т.е. .

Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

М(6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):

P(3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

Ответы:

1) длина стороны |BС| = ;

2) уравнение стороны ВС: y = –2x + 14;

3) угол при вершине В: ;

4) уравнение высоты АK: x –2y + 1 = 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P(3; 1);

6) чертеж на рис. 11.

Решение задачи 2.

Пусть М(х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т.е. где K – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3x = 4. Так как K лежит на прямой 3x = 4, то K.

Запишем условие в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка:

.

Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) на этой траектории.

Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:

, откуда получаем

– уравнение гиперболы с полуосями

.

Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13).

Ответ: – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13.

Решение задачи 3.

1. Длину ребра найдем по формуле: , поэтому

2. Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т.е. вектор, перпендикулярный векторам и . Одним из таких векторов является векторное произведение на . Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формуле : , то есть

={–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},

={7; –3; –3}.

Векторное произведение и найдем по формуле: , тогда:

В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, = {9; 17; 4}. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (формула (14):

– уравнение плоскости грани ABC.

3. Прежде, чем найти угол между гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (формула (15):

– уравнение грани BCD.

Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали , перпендикулярного этой плоскости: ={3; 7; –4}.

Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем по формуле(50):

Отсюда .

4. Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2;1;1) и имеющей направляющий вектор = {–1; 1; –2} (формулы (17)):

– параметрические уравнения AB.

Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки (формулы (19)):

откуда, обозначив каждую из дробей буквой t, получаем:

– параметрические уравнения AB.

5. Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор , коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, == {9; 17; 4}. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3) и вектор ={9; 17; 4} (формулы (18)):

– канонические уравнения DK.

6. Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей в канонических уравнениях буквой t, получаем:

– параметрические уравнения DK.

Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты , и принадлежит плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:

Решим последнее уравнение относительно t:

Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра t в первые три уравнения системы:

Итак, точка пересечения DK и грани ABC: .

7. Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между направляющими векторами прямых AB и BC: = {–1; 1; –2} и ={8; –4; –1}. Вычислим косинус угла по формуле (20):

Тогда угол между ребрами AB и BC:

8. Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: ={1; –1; –4}. Плоскость ABC имеет вектор нормали = {9; 17; 4}. Синус угла между прямой и плоскостью ABC можно вычислить по формуле (21):

Тогда угол между ребром AD и гранью ABC:

9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис. 19).

Ответы:

1)

2) АВС:

3) ;

4)

5) DK: ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) чертеж пирамиды на рис. 19.