Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия»

1. Декартова система координат (дск) на плоскости

Расстояние |АВ| между двумя точками А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В) (рис.1):

|AB| = . (1)

Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C:

. (2)

Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

. (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).

2. Полярная система координат (пск)

Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М, где r – полярный радиус

(r = |0M|), φ = – полярный угол.

ОДЗ для полярных координат: или

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами М:

и (4)

Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно

учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:

(5)

В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).

3. Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

х = а. (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х₀; у_0­) (уравнение пучка прямых):

у – y₀ = k(x – x₀). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂):

. (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (10)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k₁ x + b₁ и у = k₂ x + b₂.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k₁ = k₂._. (11)

Условие перпендикулярности прямых:

. (12)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k₂ не существует, то k₁ = 0 и обратно: если k₂ = 0, то k₁ не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

, (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k₂ не существует, то .

4. Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости: ,

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора (любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. (14)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

. (15)

Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями и определяется как угол между векторами их нормалей и или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

. (16)