§2.1. Немного о комплексных числах

Комплексное число – это вектор на плоскости. Он имеет модуль и угол наклона к оси ,

Рис.

Комплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно:

где . Очень важной является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригонометрической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.

Рис.

§2.2. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод)

На рисунке представлен график синусоидального напряжение, его ещё называют гармоническим напряжением. В аналитическом виде гармонические токи и напряжения записываются следующим образом

Кривая имеет некое максимальное значение , называемое амплитудным значением. Кривая сдвинута относительно вертикальной оси на угол . Это значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида имеет период – это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота (рад/сек), которая связана с частотой (Гц-герц) и периодом соотношением:

При определении синусоидальных токов и напряжений в электрических схемах мы будем осуществлять различные алгебраические операции с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций () к комплексным числам (), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:

Аналогично осуществляются все другие операции – умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:

Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рисунке приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются следовательно токов и напряжений можно заменять на комплексные величины –вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.

Векторная диаграмма напряжений Осциллограмма напряжений а б Рис а-Векторная диаграмма напряжений, б-Волновая диаграмма напряжений

В действительности все вектора вращаются с частотой (См. анимацию).

Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:

Здесь индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления:

Факт присутствия комплексной единицы перед индуктивным сопротивлением означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.

Факт присутствия отрицательной комплексной единицы перед ёмкостным сопротивлением означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.

Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным сопротивлением:

Здесь

.

В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью, в алгебраической и показательной формах:

.

Пример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными параметрами:

Определяем индуктивное и емкостное сопротивления:

– индуктивное сопротивление,

– емкостное сопротивление,

Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура представленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно величине воздействующей ЭДС.

Рис.

В соответствии с символическим методом можно сделать замену:

Подставим все величины в уравнение для напряжений, и в результате получим:

Рис.

Коэффициенты пропорциональности при токах имеют размерность сопротивления и обозначаются следующим образом:

Рис.

Теперь можно записать мгновенное значение тока:

.