§ 1.4. Метод контурных токов

Рис. 10

Прежде чем продолжить рассмотрение матрично–топологического метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть метода заключается в уменьшении размерности матрицы СЛАУ для определения токов. Рассмотрим, например, схему, приведённую на рисунке 7 примера 1. Выберем произвольное направление токов в ветвях. Будем считать, что в первом контуре течёт только ток и будем называть его контурным током. Аналогично во втором контуре, полагаем, что течёт ток И, наконец, в третьем контуре будем считать, что течёт ток Составляем уравнения для контурных токов по второму закон Кирхгофа:

. (19)

При составлении уравнений учтено, что в смежных ветвях протекают два контурных тока, направленных навстречу друг другу. Подставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в СЛАУ и получаем решения:

(20)

Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контурными токами:

(21)

§ 1.5 Баланс мощностей

При составлении СЛАУ по первому и второму законам Кирхгофа можно допустить ошибку, например, пропустить в нужном месте знак минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для проверки числовых значений токов составляют баланс мощностей для источников энергии – ЭДС и источников тока, и для потребителей энергии – сопротивлений. Это закон сохранения энергии – сколько энергии было выделено источниками энергии – столько же должно быть потреблено потребителями. Определим мощность источников и мощность приёмников для нашей схемы.

Мощность источников энергии:

(22)

Мощность потребителей энергии:

(23)

Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно.

§ 1.6. Метод контурных токов на основе матрично–топологического подхода

Теперь решим задачу примера 1 матрично–топологическим методом. Топологический метод заключается в формализации всех операций. Для этого нам понадобятся топологическая контурная матрица и диагональная матрица сопротивлений:

(24)

Матрицу сопротивлений для контуров можно переписать в виде матричного произведения трех топологических матриц:

Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произведения топологических матриц

.

И, наконец, контурные токи можно выразить через токи в ветвях, используя топологические матрицы

Следовательно, можно формализовать метод контурных токов, используя топологические матрицы. Последовательность действий такова:

записываем произведение матриц:

, (25)

находим контурные токи, а затем и токи в ветвях:

. (26)

. (27)

Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке, свидетельствует о правильном расчете.

Рис 11. Схема, собранная в Electronics Workbench.

§ 1.7. Метод узловых потенциалов

Рис. 12

Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Затем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.

Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.

Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.

Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных и в результате получаем

Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно:

или в матричном виде:

, (29)

а – столбцевая матрица правых частей

. (30)

Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:

(31)

И, наконец, находим токи во всех ветвях:

(32)