§4.3 Метод расчета переходных процессов в цепи переменный тока

Для расчета переходный процессов в цепи переменного тока используют символический метод

Пример: Определить ток источника напряжения если

Решение: Находим индуктивное сопротивление и комплекс напряжения .

Ищем решение в виде

1. Определяем принужденную составляющую в цепи после коммутации, используя символический метод

Определяем мгновенное значение принужденного тока

2. Определяем корень характеристического уравнения

3. Определяем независимые начальные условия, используя символический метод.

4. Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации, заменяя индуктивность источником тока равным .

5. Определяем константу интегрирования

6. Записываем решение и строим график.

Строим зависимость в пределах одного периода

§4.4 Переходные процессы в цепи второго порядка

Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рисунке с параметрами:

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:

(1)

Решение данного уравнения будем искать в виде суммы двух составляющих:

. (2)

Первое слагаемое это свободная составляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от начальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не зависит от формы воздействующего напряжения.

Второе слагаемое это принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как .

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.

Для определения констант интегрирования используем независимые начальные условия .

(3)

Откуда следует, что

(4)

Теперь можно записать окончательное решение

Определим корни характеристического уравнения входящие в решение через входное сопротивление схемы.

(5)

В результате решения уравнения получаются корни:

(6)

Где – показатель затухания контура, – угловая частота незатухающих колебаний, при выполнении условия имеем . Здесь – частота свободных колебаний,

Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут принимать следующие возможные значения.

• Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и кратные. Критический режим

.

• Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицательные и неравные. Апериодический режим

.

• Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим

Соответствующее расположение корней указанно на комплексной плоскости.

Примеры

Примеры определения корней характеристического уравнения и зависимых и независимых начальных условий

Пример: Определить независимые и зависимые начальные условия . Определить корень характеристического уравнения.

Решение: 1.Определяем независимые начальные условия .

.

2.Определяем зависимые начальные условия (в схеме после коммутации).

3.Определяем корень характеристического уравнения (в схеме после коммутации).

Определить напряжение на конденсаторе Определить ток индуктивности