§4.2 Классический метод расчета переходного процесса. Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых начальных условиях

До сих пор мы рассматривали относительно простые задачи переходного процесса с независимыми начальными условиями – это задачи на определения тока переходного процесса через индуктивность и напряжения переходного процесса на ёмкости. Задачи определения тока переходного процесса через сопротивление или через источник напряжения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных процессов очень важно понимать, что такое зависимые и независимые начальные условия. Начнем рассмотрения этих понятий с первого и второго законов коммутации.

В электрической цепи, не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии

.

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно

,

то это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напряжения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время – это процесс инерционный, не мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

Первый закон (правило) коммутации – ток через индуктивность непосредственно до коммутации равен току через индуктивность после коммутации :

. (*)

Второй закон (правило) коммутации – напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации равно напряжению на ёмкости после коммутации :

. (*)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки – и + в выражениях (**) опускают. Важно помнить, что независимые начальные условия определяются в схеме до коммутации. Таким образом, существует только два независимых начальных условия – это напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность.

Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, например с током через ёмкость или с током через источник напряжения:

.

или с напряжением на индуктивности или на источнике тока:

.

Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непосредственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от того наблюдаем мы их до или после коммутации. Зависимые начальные условия определяются в схеме после коммутации. (При этом в послекоммутационной схеме ёмкость заменяется на источник напряжения равный величине и направленный против ёмкостного тока а индуктивность заменяется на источник тока равный и направлен он по индуктивному току ).

Запишем последовательность действий для определения зависимых начальных условий:

1. Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации – ток через индуктивность и напряжения на конденсаторе

2. Заменяем в схеме после коммутации индуктивность–, источником тока равным значению , а емкость – источником напряжения равным значению .

3. Далее находим интересующие нас зависимые начальные условия.

Теперь можно приступить к решению примеров с зависимыми и независимыми начальными условиями.

Пример: Определить независимые и зависимые начальные условия для заданной схемы, если заданы величины: .

Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации: .

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом ёмкость на источник напряжения:.

Пример: Определить зависимые и независимые начальные условия для заданной схемы: .

Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации: .

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный .

Примеры

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Независимые начальные условия Рис.1: Пример-1. рис-1 Дано : Ищем решения в виде: 1) iпр определяет принуждённую составляющую в схеме после коммутации : 2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации : 3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации : 4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : 4) Определяем напряжение на индуктивности U(t) : Пример-2. рис-2 Ищем решения в виде: 1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации : Рис-2 2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации : 3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации : 4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : 4) Определяем напряжение на индуктивности U(t) : Пример-3. рис-3 Ищем решения в виде: рис-3 1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации : 2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации : 3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации : 4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : 4) Определяем напряжение на индуктивности U(t) : Зависимые и независимые начальные условия Пример- 4. Рис- 4 Дано : Рис- 4 Ищем решения в виде: 1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации : Рис- 5 2) определяет ННУ в схеме до коммутации : 3) определяет ЗНУ в схеме после коммутации ( рис - 5 ) : 4) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации : 5) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : Зависимые и независимые начальные условия Пример-5. Рис- 6 Дано : Рис- 6 Ищем решения в виде: 1) Uпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации ( рис - 7 ): 2) определяет ННУ в схеме до коммутации ( рис - 8 ): Рис- 7 Рис- 8 Рис- 9 3) определяет ЗНУ в схеме после коммутации ( рис - 9 ) : 4) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации (рис - 7) : 5) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : Зависимые и независимые начальные условия Пример- 6. Рис- 10 Дано : Ищем решения в виде: Рис- 10 1) Uпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации ( рис - 11 ): 2) определяет ННУ в схеме до коммутации ( рис - 12 ): Рис- 11 Рис- 13 Рис- 14 Рис- 12 3) определяет ЗНУ в схеме после коммутации ( рис - 13 и 14 ) : 4) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации (рис - 7) : 5) Записываем окончательное решение и строим график i(t) :

Лекция № 10