§8. Умножение векторов

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(8.1).

Эту формулу можно записать в виде

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. - переместительный закон.

2. - распределительный закон

3. 

4. , отсюда

5. Если , то - условие перпендикулярности векторов и

6. , - вектор силы, - вектор перемещения, - работа силы .

Если и заданы в прямоугольной системе координат , то (8.2).

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.

Рис. 7.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , длина которого равна , он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Векторное произведение имеет следующие свойства:

1. 

2. 

3. 

4. Если , то

5. , где - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: и , то:

(8.3).

Если вектор силы, приложенной в точке , а радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат равен:

.

Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается .

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(8.4).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. - условие компланарности векторов;

2. - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;

3. - циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;

4. 

Пример 11. Даны вершины пирамиды . Найти 1) угол между ребром и гранью ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Вычислим координаты вектора :

.

Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :

;

.

.

;

.

1. Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.

.

2. Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,

построенного на ребрах и . Следовательно

.

3. Длина высоты определяется из формулы:

; .

Ответ: ; ; ; .