
- •§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными
- •§ 2. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными
- •§ 3. Матрицы и определители
- •§ 4. Определители произвольного порядка
- •§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •§6. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •§7. Векторы и линейные операции над ними
- •§8. Умножение векторов
- •§9. Комплексные числа
- •§ 10. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Различные уравнения прямой на плоскости.
- •§12. Кривые второго порядка
- •§13. Уравнение плоскости
- •§ 14. Прямая в пространстве.
- •§15. Поверхности второго порядка.
- •§16. Преобразование декартовых координат.
- •§17. Полярная система координат.
- •Расчётно-графическая работа «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
- •Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.
- •Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными………………….3
§15. Поверхности второго порядка.
Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению
Коэффициенты
могут принимать любые действительные
значения и удовлетворяют условию
.
Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.
называют квадратичной формой. Матрицу
,
где
,
называют матрицей квадратичной формы.
Вектор
,
удовлетворяющий условию
называют собственным вектором матрицы
А,
- собственным значением.
Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:
.
Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.
Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:
3x2 +5y2 +3z2 – 2xy + 2xz – 2yz -12x – 10 = 0.
Решение.
Составим матрицу А:
.
Найдем собственные векторы:
Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.
Раскрывая определитель, получим:
.
Отсюда находим:
.
При
получим систему уравнений:
Решив систему, получим первый собственный
вектор
.
Единичный вектор
собственного вектора
будет:
.
При
получим
При
получим
.
Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:
Отсюда получим формулы преобразования координат:
Подставим значения
,
и
в уравнение поверхности:
или
Перепишем уравнение в виде:
Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:
Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим
Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.
Классификация поверхностей второго порядка.
Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:
.
В зависимости от величины и знаков
коэффициентов
,
,
,
,
,
и
могут представиться следующие частные
случаи уравнений поверхностей второго
порядка.
Таблица 1.
1. Эллипсоиды:
трехосный эллипсоид,
мнимый эллипсоид
точка
2.
Гиперболоиды:
1)однополостные
гиперболоиды
2)
двуполостные
гиперболоиды
3. Конусы:
4. Параболоиды:
1)
эллиптические параболоиды
2)
гиперболические параболоиды
5. Цилиндры
1)
эллиптические цилиндры
2)
гиперболические цилиндры
3)
- параболические цилиндры
6.
Пары плоскостей:
1)
- пары пересекающихся плоскостей
2)
- пары параллельных плоскостей
3)
- пары совпадающих плоскостей