2.5. Задачи
1. Определить число инверсий в перестановках:
а) 1,9.6,3.2.4.7.8.
б)
.
в)
.
2. Выбрать значения
и
так, чтобы произведение
входило в определитель 7-го порядка со
знаком плюс.
3. С каким знаком входит в определитель
порядка
произведение элементов побочной
диагонали?
4. Найти члены определителя
,
содержащие
и
.
5. Пользуясь только определением, вычислить определитель
.
6. Пользуясь только свойствами определителей вычислить следующие определители:
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
,
где
.
7. Не вычисляя определителей, доказать следующие тождества:
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
8. Пользуясь свойствами определителей, включая разложение по строке или столбцу, доказать тождество:
.
9. Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель
.
Вычислить определители:
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
В следующих задачах, где по виду
определителя нельзя установить его
порядок, предполагается, что он равен
.
Вычислить следующие определители, приводя их к треугольному виду.
17.
.
18.
.
19.
20.
.
Вычислить следующие определители методом рекуррентных соотношений.
21.
22.
.
23.
.
24.
.
Пользуясь теоремой Лапласа вычислить следующие определители.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
Вычислить определители:
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37. Порядок следующего определителя
равен
:
.
38.
.
39.
.
40.
.
41.
.
42.
.
3. Обратная матрица
Квадратная матрица
называется обратной по отношению
к квадратной матрице
того же порядка, если
.
Необходимым и достаточным условием
существования обратной матрицы является
невырожденность матрицы
т.е.
.
В этом случае обратная матрица существует, является единственной и определяется соотношением
,
где
алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
Обратная матрица обладает следующими свойствами:
1.
.
2.
.
3.
.
Полезно помнить, что если матрица
является треугольной, то
является треугольной того же типа, что
и матрица
.
Обратная к симметричной матрице тоже
симметрична.
Пример. Найти матрицу обратную к матрице
.
Определитель
и, следовательно, обратная матрица
существует. Алгебраические дополнения
элементов матрицы
равны
Поэтому
.
3.1. Задачи
Найти матрицы обратные к данным.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7. Решить матричные уравнения:
а)
.
б)
.
8. Показать, что вычисление матрицы,
обратной к данной матрице порядка
,
можно свести к решению
систем линейных уравнений, каждая из
которых содержит
уравнений с
неизвестными и имеет матрицей коэффициентов
при неизвестных матрицу
.
9. Как изменится обратная матрица
,
если в данной матрице
:
а) переставить
ю
и
ю
строки?
б)
ю
строку умножить на число
?
в) к
й
строке прибавить
ю,
умноженную на число
,
или совершить аналогичное преобразование
столбцов?
4. Ранг матрицы
4.1. Основные понятия
Определение 1. Пусть даны
вектор – столбцов порядка
и
скаляров
.
Умножая
на
и складывая, получим вектор – столбец
с элементами
,
который называется линейной комбинацией
столбцов
.
Определение 2. Столбцы
называются линейно зависимыми, если
найдутся такие числа
,
не равные нулю одновременно, что линейная
комбинация
,
где ноль справа это нулевой вектор – столбец.
Определение 3. Столбцы
называются линейно независимыми, если
равенство
возможно только при условии
.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости вектор – столбцов является равенство одного из них линейной комбинации других.
Пример. Пусть даны вектор – столбцы
.
Нетрудно заметить, что столбец
равен сумме
.
Поэтому при
линейная комбинация данных столбцов
равна нулю и, следовательно, они линейно
зависимы.
В общем случае проверка условия линейной зависимости сводится к нахождению ненулевого решения системы уравнений
Рассмотрим теперь матрицу
порядка
.
Определение 4. Натуральное число
называется рангом матрицы
,
если у нее имеется минор порядка
отличный от нуля, а все миноры порядка
и выше, если это возможно, равны нулю.
Очевидно, что
.
Определение 5. Если ранг матрицы
равен
,
то всякий отличный от нуля минор порядка
матрицы
называется базисным минором. Строки и
столбцы матрицы
,
на пересечении которых расположен
базисный минор, называются базисными
строками и столбцами.
Теорема (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы. Любой столбец (любая строка) матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).
Из последних утверждений следует второе определение ранга матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (строк).