- •Матрицы. Системы линейных уравнений
- •1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Действия с матрицами
- •1.3. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Свойства определителя
- •2.3. Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке
- •2.4. Вычисление определителей
- •2.5. Задачи
- •3. Обратная матрица
- •3.1. Задачи
- •4. Ранг матрицы
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление ранга матрицы
- •4.3. Задачи
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.1. Основные определения
- •5.2. Квадратные системы. Формулы Крамера
- •5.3. Метод Гаусса
- •5.4. Задачи
- •6. Однородные линейные системы
- •6.1. Общее решение однородной системы
- •6.2. Задачи
- •7. Неоднородные системы
- •7.1. Общее решение неоднородной системы
- •7.2. Задачи
- •Литература
Федеральное агентство по образованию РФ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
Декан ФПМК
________ А. М. Горцев
26 февраля 2007 г.
Матрицы. Системы линейных уравнений
Учебно-методическое пособие
Томск
2007
РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.
ПРОТОКОЛ № 26 от 26 января 2007 г.
Председатель комиссии
профессор С.Э.Воробейчиков
В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.
Составители: К.И.Лившиц
Л.Ю.Сухотина
1. Матрицы
1.1. Основные понятия
Определение. Пусть — множество чисел и — набор из элементов множества . Прямоугольная таблица
,
состоящая из строк и столбцов, называется матрицей.
Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. Совокупность элементов образуют ю строку матрицы, а совокупность элементов образует й столбец матрицы. Величины и называются порядками матрицы.
Две матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов называются матрицами одинакового типа. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые порядки и .
Если , матрица называется квадратной. Совокупность элементов называется главной диагональю матрицы. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной. Если все диагональные элементы диагональной матрицы , то диагональная матрица называется единичной и обозначается символом .
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается . Нулевые матрицы различных порядков считаются различными, так как состоят из разного числа элементов.
Квадратная матрица называется верхней треугольной, если из следует, что и нижней треугольной, если из следует, что .
Матрицу, состоящую из одной строки, называют вектор — строкой, а матрицу, состоящую из одного столбца, называют вектор — столбцом. Например, матрица вектор — строка размера.
1.2. Действия с матрицами
1. Транспонирование матриц. Операция транспонирования матриц состоит в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров. Пусть дана матрица порядка . Тогда транспонированной по отношению матрице называется матрица порядка , элементы которой . Транспонирование матрицы обозначается как .
Пример. Пусть Тогда
2. Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинакового типа. Суммой двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой Используется обозначение .
3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы порядка и числа называется матрица того же типа, элементы которой . Используется обозначение .
Пример. Пусть
Тогда матрица
4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матрицы на матрицу вводится для прямоугольных матриц при условии, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Произведением матрицы порядка и матрицы порядка , заданных в определенном порядке ( — первая, — вторая), называется матрица порядка , элементы которой
Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов - й строки матрицы на соответствующие элементы - го столбца матрицы .
Пример 1. Пусть . Тогда
,
.
Пример 2. Пусть . Тогда
.