1.3. Задачи

Вычислить произведения матриц:

1. 2. . 3. .

4. . 5. .

6. Доказать, что если для матриц и оба произведения и существуют, причем , то матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок.

Вычислить выражения:

7. . 8. . 9. .

10. , порядок матрицы равен .

11. Найти значение многочлена от матрицы .

12. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

а) . б) .

13. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

.

14. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

.

2. Определители

2.1. Основные понятия

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица порядка. Составим произведение из различных элементов матрицы , выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Запишем это произведение в виде. Будем называть его членом определителя. Рассмотрим последовательность чисел . По самому построению члена определителя это различные числа, которые представляют собой перестановку чисел от 1 до . Назовем инверсией в перестановке такое расположение чисел, когда старшее стоит перед младшим. Например, в перестановке 1,2,4,5,7,9,10,8,3,6 будет 12 инверсий. Обозначим число инверсий в перестановке через . Так как из чисел можно составить различных перестановок, то число различных членов определителя равно !

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы называется алгебраическая сумма ! членов определителя перед каждым из которых стоит знак . Или

где сумма берется по всем возможным перестановкам .

Хотя определитель матрицы это число, будем для удобства столбцы и строки матрицы называть также столбцами и строками ее определителя .

Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка

.

Члены определителя имеют вид , где принимают значения 1 и 2. Возможны две пары значений и . Поэтому

.

2.2. Свойства определителя

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т.е. . Поэтому свойства, сформулированные для столбцов матрицы, справедливы и для строк.

2. При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

3. Обозначим через определитель, й столбец которого есть вектор-столбец . Если все элементы го столбца определителя представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых , где и фиксированные числа, то определитель равен линейной комбинации двух определителей

.

Например,

.

4. Определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

6. Если некоторый столбец матрицы состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.

7. Если к элементам одного столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. Например,

.

2.3. Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке

Рассмотрим определитель матрицы

.

Выделим в этом определителе произвольный элемент , соберем в правой части равенства все члены определителя, в которые входит , и вынесем этот элемент за скобки. Величина , стоящая в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента в определителе .

Например, в определителе третьего порядка алгебраическое дополнение элемента , а элемента .

Так как в каждый член определителя входит один и только один элемент го столбца, то можно записать, что

.

Это соотношение называется формулой разложения определителя по элементамго столбца. Аналогичная формула записывается и для любой й строки

.

Рассмотрим теперь квадратную матрицу го порядка

Выделим в этой матрице произвольные строк с номерами и столько же столбцов с номерами .Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу го порядка. Ее определитель называется минором го порядка матрицы и обозначается . Всякий элемент по определению есть минор 1-го порядка, а есть минор го порядка.

Если в исходной матрице зачеркнуть строк с номерами и столбцов с номерами , то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу порядка .Определитель этой матрицы называется дополнительным минором для минора . Дополнительный минор к элементу обозначается .

Например, в матрице

Миноры и алгебраические дополнения связаны между собой следующим равенством: Из формул разложения определителя по строке или столбцу получаем, что

.

Обобщением этих формул является теорема Лапласа. Пусть в определителе го порядка выделены любые столбцов с номерами . Составим всевозможные миноры го порядка из элементов, находящихся на пересечении этих столбцов и произвольных строк определителя с номерами (). Тогда

,

где . Аналогичное разложение можно записать и для произвольных строк определителя

.