2. Дослідження часових та частотних характеристик багатоконтурних лінійних сау з перехрещеними зв’язками

2.1 Мета роботи

Метою роботи є отримання навичок побудови та перетворення структурних схем одноконтурних та багатоконтурних САУ.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до лабораторної роботи студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал і дані практичних занять, ознайомитися з матеріалами, наведеними у літературі [3–9], зокрема такими: структурні схеми, правила перетворення структурних схем, правила переносу суматорів та вузлів у структурних схемах, визначення передавальних функцій одноконтурної та багатоконтурної систем.

Програмою досліджень лабораторної роботи є отримання часових та частотних характеристик багатоконтурних лінійних сау з перехрещеними зв’язками.

Структурною схемою називається графічне зображення математичної моделі САУ у вигляді з’єднання ланок. Структурна схема відображає динамічні властивості системи. Її завдання – якнайкраще наочно показати математичну сторону перетворення сигналів окремими елементами та всією системою в цілому.

Структурна схема може бути отримана із функціональної, якщо відомі передавальні функції (або диференціальні рівняння) та параметри елементів, що входять до складу системи.

Ланка на структурній схемі може відображати математичну модель елемента, групи елементів та частини одного елемента.

Динамічну ланку зображають у вигляді прямокутника з наведенням вхідних та вихідних величин, а також передавальної функції всередині нього. До того ж вхідну та вихідну величини записують у вигляді зображень, якщо передавальні функції задають у формі зображень або у вигляді оригіналу, якщо передавальна функція задається в операторній формі.

Існують три типи основних з’єднань у структурних схемах САУ: послідовне, паралельне та зворотне з’єднання.

При послідовному з’єднанні вихідна величина кожної попередньої ланки є вхідною величиною наступної ланки (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Послідовне з’єднання ланок

Передавальна функція системи послідовно з’єднаних ланок дорівнює добутку передавальних функцій всіх ланок, що входять до складу з’єднання:

(2.1)

При паралельному з’єднанні ланок на вхід усіх ланок подається один і той же сигнал, а вихідні величини додаються (рис. 2.2):

Рисунок 2.2 – Паралельне з’єднання ланок

Передавальна функція паралельно з’єднаних ланок дорівнює алгебраїчній сумі передавальних функцій всіх ланок, що входять до з’єднання.

. (2.2)

Якщо вихідний сигнал ланки через будь-яку іншу ланку подається на його вхід, то вважають, що ланка охоплена зворотним зв’язком. При цьому якщо сигнал зворотного зв’язку x₁ віднімається від вхідного сигналу x₀, то зворотний зв’язок називається від’ємним. Якщо сигнали x₀ та x₁ додаються, то зворотний зв’язок – додатний (рис. 2.3, а).

Передавальна функція ланки, охопленої від’ємним (додатним) зворотним зв’язком, дорівнює дробу, у чисельнику якого записується передавальна функція прямого ланцюга (ланки, що охоплюється), а у знаменнику – сума (різниця) одиниці та добутку передавальних функцій прямого ланцюга та ланки зворотного зв’язку:

(2.3)

а) б)

Рисунок 2.3 – Зворотній зв’язок: а) ланка, охоплена зворотним зв’язком; б) ланка, охоплена одиничним зворотним зв’язком

Якщо передавальна функція зворотного зв’язку , то зворотний зв’язок називається одиничним (рис. 2.3, б).

Існує ряд правил перетворення структурних схем: перенесення суматорів, перенесення вузлів, перестановка вузлів та суматорів, які дозволяють позбавитись від зворотних зв’язків, що перетинаються, у багатоконтурних САУ [4, 8, 9].

Замкнута система називається одноконтурною, якщо під час її розмикання (відразу після суматора) виходить ланцюг з послідовно з’єднаних ланок або ланцюг, який не вміщує паралельних з’єднань та оборотних зв’язків.

Передавальна функція одноконтурної системи з від’ємним (додатним) оборотним зв’язком дорівнює передавальній функції прямого ланцюга, поділеній на одиницю плюс (мінус) передавальна функція розімкнутої системи.

Замкнута система називається багатоконтурною, якщо під час її розмикання виходить ланцюг, який вміщує паралельні та оборотні зв’язки, або інакше, якщо вона, окрім головного оборотного зв’язку, містить паралельні або місцеві оборотні зв’язки.

Багатоконтурна система має перехресний зв’язок, якщо контур оборотного або паралельного зв’язку охоплює частину ланцюга, якй містить тільки початок або кінець другого ланцюга оборотного або паралельного зв’язку.

Для обчислення передавальної функції багатоконтурної системи необхідно, перш за все, перестановкою та перенесенням вузлів і суматорів звільнитись від перехресного зв’язку. Далі, використавши правила перетворення структурних схем, перетворити її в одноконтурну систему. Слід мати на увазі, що під час перетворення структурної схеми не можна переносити суматори через точку знімання вихідного сигналу, оскільки при цьому точка знімання виявляється на нееквівалентній частині лінії зв’язку.

2.3 Опис лабораторної установки

Лабораторна робота виконується у середовищі Matlab за допомогою пакета моделювання динамічних систем Simulink. Опис лабораторної установки наведено у пункті 1.3.

2.4 Порядок виконання роботи та методичні вказівки щодо її виконання

2.4.1 Побудувати Simulink-модель досліджуваної багатоконтурної лінійної САУ, що задана у завданні (Додаток Б). Для побудови моделі необхідно використати такі блоки:

• блок Step (з бібліотеки simulink/Sources) – генератор одиничного ступінчастого сигналу;

• блок TransferFunction (з бібліотеки simulink/Continuous) – передавальна функція;

• блок Subtract чи Add (з бібліотеки simulink/Math Operations) – відповідно від’ємний та додатний суматор;

• блок Scope (з бібліотеки simulink/Sinks) – осцилограф для візуалізації процесу моделювання.

2.4.2 Визначити передавальну функцію досліджуваної багатоконтурної лінійної САУ за допомогою існуючих команд MatLab.

В системі MatLab передавальні функції систем задаються за допомогою функції tf:

W=tf([num],[den]),

де num – вектор або матриця коефіцієнтів чисельника, den – вектор коефіцієнтів знаменника.

У разі послідовного з’єднання двох ланок САУ можна використати функцію series:

W=series(W1,W2),

де W1,W2 – передавальні функції послідовно з’єднаних ланок САУ.

У разі паралельного з’єднання двох ланок використовується команда parrallel:

W=parrallel(W1,W2).

Якщо ланка охоплена одиничним зворотним зв’язком (рис. 2.3, б) використовується команда feedback:

W=feedback(W1,W2).

У випадку, коли у зворотному зв'язку є ланка з передавальною функцією W2, команда буде мати такий вигляд:

W=feedback(W1,W2).

2.4.3 Допрацювати Simulink-модель, додавши паралельно ланку із визначеною передавальною функцією. Отримати часові та частотні характеристики досліджуваної системи та ланки із визначеною передавальною функцією.

2.5 Зміст звіту

Загальні правила оформлення матеріалів звіту наведено у вступі до методичних вказівок.

У теоретичній частині потрібно:

– навести структурну схему досліджуваної системи;

– здійснити перетворення структурних схем із графічним та аналітичним супроводом;

– розрахувати передавальну функцію досліджуваної САУ.

В експериментальній частині навести часові та частотні характеристики досліджених систем.

У висновках порівняти теоретичні та експериментальні дані.

2.6 Контрольні запитання і завдання

1. На підставі чого складається структурна схема САУ?

2. Як на схемі зображуються ланки, підсумовуючі та порівняльні блоки?

3. Назвіть основні типи з єднань в структурних схемах.

4. Чому дорівнює передавальна функція послідовно з’єднаних ланок?

5. Чому дорівнює передавальна функція паралельно з’єднаних ланок?

6. Чому дорівнює передавальна функція ланок, з’єднаних зворотним зв’язком?

7. Назвіть правила переносу суматорів за ходом та проти ходу сигналу.

8. Назвіть правила переносу вузлів за ходом та проти ходу сигналу.

9. Назвіть правило переносу вузла через суматор.

10. Назвіть правило переносу суматора через вузол.

11. Чому дорівнює передавальна функція одноконтурної системи?

12. Чому дорівнює передавальна функція багатоконтурної системи?

13. Чому дорівнює передавальна функція багатоконтурної системи із перехрещеними зв’язками ?