Раздел 3«Элементы математического анализа».
Тема 6. Функция одной переменной.
1. Функция, ее определение и свойства.
2. Степенная функция с натуральным показателем.
3. Степенная функция с целым отрицательным показателем.
4. Определение корня n-ой
степени. Функция y =
.
5. Показательная функция на множестве рациональных чисел.
6. Определение степени с иррациональным показателем. Показательная функция на множестве действительных чисел.
7. Логарифмическая функция.
8. Тригонометрические функции.
9. Обратные тригонометрические функции.
10. Гиперболические функции.
Тема 7. Предел и непрерывность функции.
1. Предел функции в точке.
2. Свойства функций, имеющих предел (теоремы о единственности предела, о предельном переходе в равенстве, об ограниченности функции, о близости значений функции к пределу, о предельном переходе в неравенстве, о пределе промежуточного переменного).
3. Бесконечно малые функции и их свойства.
4. Арифметические свойства пределов функций.
5. Первый замечательный предел.
6. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.
7. Предел сложной функции.
8. Предел функции на бесконечности.
9. Бесконечные пределы.
10. Второй замечательный предел.
11. Понятие предела функции по множеству. Частичные пределы (левосторонние и правосторонне пределы).
12. Различные определения непрерывности функции в точке.
13. Арифметические операции над непрерывными функциями.
14. Точки разрыва и их классификация.
15. Теоремы о функциях, непрерывных на сегменте.
16. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
17. Паутинные модели рынка.
Тема 8. Производная и дифференциал функции.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой.
3. Понятие дифференцируемой функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
4. Правила дифференцирования.
5. Производные основных элементарных функции.
6. Производные высших порядков. Механический смысл 2-й производной.
7. Высшие производные некоторых элементарных функции. Формула Лейбница.
8. Параметрически заданная функция и ее производные.
9. Теоремы о средних дифференциального исчисления.
10. Правило Лопиталя.
11. Условия постоянства функции.
12. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Тема 9. Приложение производной для исследований функций.
1. Необходимые и достаточные условия монотонности. Схема исследования функции на монотонность.
2. Экстремумы: определение, необходимые и достаточные условия.
3. Выпуклость и вогнутость кривой, достаточные условия.
4. Перегиб кривой, необходимые и достаточные условия.
5. Асимптоты кривой, их виды и нахождение.
6. Сравнение бесконечно малых.
7. Дифференциал функции, его геометрический и механический смысл. Инвариантность формы дифференциала.
8. Дифференциалы высших порядков.
Тема 10. Неопределённый и определённый интеграл.
1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
2. Таблица неопределенных интегралов.
3. Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.
4. Интегрирование рациональных функций.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
6. Интегрирование алгебраических иррациональностей.
7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
8. Общее понятие определенного интеграла, и его геометрический и механический смысл. Необходимое условие интегрируемости.
9. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
10. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора
11. Классы интегрируемых функций.
12. Свойства определенного интеграла.
13. Определенный интеграл как функция верхнего предела, непрерывность и дифференцируемость этой функции. Формула Ньютона-Лейбница.
14. Понятие квадрируемой фигуры и ее площади, признак квадрируемости.
15. Вычисление площади в декартовых координатах.
16. Вычисление площади в полярных координатах.
17. Вычисление длины дуги с помощью интеграла.