Тема 10. Неопределённый и определённый интеграл.

10.1. Основные свойства неопределённого интеграла. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование.

10.2. Геометрические и физические приложения неопределённого интеграла.

10.3. Интегрирование методом замены переменной.

10.4. Интегрирование по частям.

10.5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

10.6. Приложения неопределённого интеграла (нахождение первообразной по начальным условиям; выделение из семейства кривых с одинаковым наклоном линии, проходящей через конкретную точку; составление уравнения движения тела по заданному уравнению скорости или ускорению).

10.7. Определённый интеграл и его геометрический смысл.

10.8. Основные свойства и вычисление определённого интеграла (формула Ньютона-Лейбница).

10.9. Вычисление определённого интеграла методом замены переменной.

10.10. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

10.11. Вычисление площади криволинейной трапеции.

10.12. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла.

10.13. Применение определённого интеграла к решению физических задач.

Тема 11. Дифференциальные уравнения.

11.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

11.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделёнными и разделяющимися переменными.

11.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

11.4. Дифференциальные уравнения высших порядков.

11.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

11.6. Краевая задача для дифференциальных уравнений.

Тема 12. Функции нескольких переменных.

12.1. Функция нескольких переменных.

12.2. Область определения, линии и точки разрыва функции нескольких переменных. 8.3. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных 1-го порядка и высших порядков.

12.3. Дифференциалы функции нескольких переменных.

12.4. Производная по направлению. Градиент.

12.5. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных. Условный экстремум.

12.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области.

12.7. Применение в задачах экономики.

Темы рефератов.

1 Семестр

Раздел 1 «Элементы теории множеств».

Тема 1. Основные понятия теории множеств.

1. Множества. Операции над множествами.

2. Декартово произведение.

3. Отображения, функции.

4. Взаимно – однозначное соответствие. Обратная функция.

5. Эквивалентность множеств. Счётные множества.

6. Счётность множества рациональных чисел.

7. Теорема Г.Кантора о неэквивалентности множества и множества всех его подмножеств.

8. Множество мощности континуум. Несчётность континуума.

Тема 2. Вещественные и комплексные числа.

1. Определение действительного числа.

2. Сравнение действительных чисел.

3. Приближение действительных чисел рациональными.

4. Верхняя и нижняя грани множеств и их свойства.

5. Сложение и умножение действительных чисел.

6. Принцип стягивающихся сегментов.

7. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.

Раздел 2 «Методологические проблемы математики».

Тема 3. Математика как научная дисциплина.

1. Определения понятия «математики».

2. Методологический подход к определению «математики» по Н. Бурбаки.

3. Определения понятия «математики» по Ф. Энгельсу.

Тема 4. Предмет и задачи математики.

1. Предмет математики.

2. Периоды развития математики.

3. Геометрия Евклида – первая естественно – научная теория.

4. Неевклидовы геометрические системы.

5. Математическая индукция и дедукция.

Тема 5. Основные этапы становления математики.

1. Из истории возникновения понятия натурального числа.

2. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел.

3. Теоретико – множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами.

4. Запись неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними.

5. Делимость натуральных чисел.

6. О расширении множества натуральных чисел.

7. Из истории возникновения и развития геометрии.

8. Свойства геометрических фигур на плоскости.

9. Построение и преобразование геометрических фигур.

10. Геометрические величины.

11. Математический язык: особенность, становление и развитие.

12. Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории.