Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов

1. Определить параметры q,l правой части – функции f(x) уравнения (54).

2. Выписать структуру частного решения с неопределенными коэффициентами в виде (56).

3. Подставить полученное выражения для в уравнение (54) и найти значения неопределенных коэффициентов, приравнивая выражения при одинаковых функциях переменной х.

Пример 26. По заданным корням характеристического уравнения и заданной правой части f (x) указать вид частного решения соответствующих дифференциальных уравнений:

▲ 1. Определим параметры q,l правых частей – f_i(x). Функции f₁(x) и f₂(x) являются многочленами и для них  и  = 0, причем f₁(x) = 1 – многочлен нулевой степени, следовательно, q = 0 и l = 0 а многочлен первой степени и q = 1 и l = 0. Для функции f₃(x) = е^х имеем   = 0, q = 0 и l = 0; для функции f₄(x) = хе^х имеем   = 0, q = 1 и l = 0.

2. Выпишем вид частного решения для каждого случая функции f_i (x), i =1,2,3,4. Для функций f₁(x) и f₂(x) число = 0 и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s = 0. Кроме того, с учетом (57) для функции f₁(x)=1 имеем Q_m=A₀, а для функции f₂(x) = х – Q_m=A₀ х+А₁. Частные решения в этих случаях подбираются в виде:

Для функции f₃(x) и f₄(x) число = 1 и оно совпадает с однократным корнем характеристического уравнения - ₁=1, поэтому показатель степени х в формуле (56) s = 1. Кроме того, для функции f₃(x) = е^х имеем Q_m=A₀, а для функции f₄(x) = хе^х – Q_m=A₀х+А₁. В этих случаях решения подбираются в виде:

▲

Пример 27. По заданным корням характеристического уравнения и заданной правой части f(x) указать вид частного решения соответствующих дифференциальных уравнений:

▲ 1. Определим параметры q,l правых частей – f_i(x). Во всех случаях аотносительно  можно сказать следующее: для функции f₁(x) и f₂(x)  = 1, для функции f₃(x)  = 2. Для функции f₁(x), у которой отсутствует составляющая с sinx, многочлен Р_l(x), а R_q(x)=2, то есть является многочленом нулевой степени, и поэтому q = 0. Для функции f₂(x) аналогично получаем Р_l(x) = 3, а R_q(x) равен нулю, следовательно, l = 0. Для функции f₃(x) многочлен Р_l(x) = х, то есть является многочленом первой степени и поэтому l = 1, а R_q(x) равен нулю.

2. Выпишем вид частного решения для каждого случая функции f_i(x), i =1,2,3. Во всех случаях число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s = 0. Для функции f₁(x) и f₂(x) степень m = max(q,l)=0, а для функции f₃(x) т = 1. Частные решения подбираются в виде:

Отметим, что согласно формулам (55) и (56), несмотря на то, что в правой части уравнения присутствует только одна тригонометрическая функция cosx или sinx, в подборе частного решения участвуют обе. ▲

Пример 28. По заданным корням характеристического уравнения и заданной правой части f (x) указать вид частного решения соответствующих дифференциальных уравнений:

▲ 1. Определим параметры q,l правых частей – f_i(x). Для функции f₁(x), многочлены Р_l(x) и R_q(x) имеют степени l = 1 и q = 2, кроме того,  =1/2 и . Для функции f₂(x) многочлен Р_l(x) = 0, а R_q(x) = х, поэтому q = 1 и, кроме того,  = 2 и . L = 0.

2. Выпишем вид частного решения для каждого случая функции f_i(x), i =1,2. Для функции f₁(x) число совпадает с корнем кратности 2 характеристического уравнения, поэтому s = 2 и m = max(q,l)= max(2,1)=2. Исходя из этого, многочлен Q_m имеет вид: . Для функции f₂(x) число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s= 0 и m = max(q,l) = 1. Следовательно, многочлен T_m имеет вид: .

Таким образом, частные решения подбираются в виде:

.▲

Пример 29. Найти частное решение уравнения: .

▲ 1. Для правой части исходного уравнения определяем параметры q,l:  q = 1.

2. Корни характеристического уравнения действительные и различные, . Учитывая, что число совпадает с корнем .кратности 1, то тогда s=1, и m = max(q,l)= 1. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

.

3. Подставляем в исходное уравнение выражения для у_ч(x) и ее второй производной

.

После преобразований (сокращения на е^х и приведения подобных) получаем равенство:

.

В этом равенстве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях функции переменной х в правой и левой частях:

, откуда следует, что .

Полученные значения неопределенных коэффициентов подставив в вид искомого частного решения, получим окончательно:

.▲

Пример 30. Найти частное решение уравнения:

.

▲ Прежде всего, функцию представим в виде суммы двух функций . Для каждого случая будем подбирать свое частное решение исходного уравнения.

1. Для функции f₁(x) определяем параметры q,l:  q = 0, а для функции f₂(x) соответственно  q = 0.

2. Характеристическое уравнение имеет корни:

.

Учитывая, что для функции f₁(x) число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, поэтому s=0, а для функции f₂(x) число совпадает с корнем ₁ кратности 1. Исходя из этого, можно выписать частное решение:

.

3. Подставляем в исходное уравнение выражения для и его производных и находим значения неопределенных коэффициентов . Для удобства определения этих коэффициентов подставим в уравнение с правой частью f₁(x), а в уравнение с правой частью f₂(x).

Подставляем и производные:

в исходное уравнение с правой частью f₁(x) = .Сокращая на е^2х и приравнивая коэффициенты при cosx и sinx в правой и левой частях полученного равенства, будем иметь систему из двух уравнений:

или после преобразований

откуда находим, что

.

Далее подставляем функцию f₂(x) = и ее производные:

в исходное уравнение с правой частью равной 4е^-х. Сократив на е^-х, получим равенство 8D₀=4, то есть D₀ = ½, следовательно

.

Таким образом, частное решение исходного уравнения запишем в виде суммы двух частных решений, и окончательно оно будет иметь вид:

.▲

3. В случае, когда требуется найти решение неоднородного уравнения (54), удовлетворяющего начальным условиям:

, (57)

где любые заданные числа, то можно воспользоваться так называемым операционным методом. Предположим, что функция f(x) в уравнении (54) и искомая функция у(х) вместе со своими производными до порядка п включительно являются оригиналами, так что к ним можно применять преобразования Лапласа, то есть сначала строится изображение решения

, (58)

а затем, пользуясь таблицей оригиналов и их изображений (табл.1), ищется искомое решение у(х) – являющееся оригиналом.

Таблица 1.

Таблица оригиналов и их изображений наиболее встречающихся функций

	Оригинал – у(х)	Изображение -
1	2	3
1.	С (С = const)
2.	xn (n > 0, целое)
3.
4.
5.	sin bx (b = const)
6.
7.	xsin bx
8.	cos bx (b = const)
9.
10.	xcos bx (b = const)
11.	ch bx (b = const)
	Продолжение табл.1
1	2	3
12.	sh bx (b = const)
13.
14.
15.	(b = const)
16.	(b = const)
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
	Окончание табл.1
1	2	3
24.
25.
26.

Теперь покажем, как можно найти решение задачи Коши (54), (57) операционным методом.

Найдем сначала изображение решения у(х). С этой целью возьмем изображения обеих частей уравнения (54), применив к ним преобразование Лапласа и, используя правила дифференцирования оригинала. При этом получим уравнение линейное относительно :

Разрешим это уравнение относительно . Собрав все члены, содержащие , и перенеся остальные члены в правую часть, получим

, (59)

где

Необходимо отметить, что коэффициент при есть не что иное, как характеристический полином Р(р) для однородного линейного уравнения, соответствующего уравнению (54). Поэтому уравнение (59) можно записать в виде:

. (60)

Это уравнение называется изображающим уравнением или операторным уравнением для задачи Коши (54), (57).

Из уравнения (60) находим изображение искомого решения

. (61)

Восстанавливая по изображению (61) оригинал (например, по таблице 1), получим искомое решение у = у(х).

Пример 31. Найти решение уравнения: , удовлетворяющее начальным условиям:

▲ Возьмем изображение обеих частей исходного уравнения. Если оригиналу у(х) соответствует изображение , что записывается следующим образом – у(х) :, то можно использовать правило дифференцирования оригинала. В нашем случае в левой части исходного уравнения мы имеем сам оригинал у(х) и его вторую производную . Представим изображение :

: ,

тогда изображение левой части исходного уравнения будет иметь вид:

+ у(х) : ,

а изображение правой части, которое можно взять из таблицы оригиналов и изображений (табл.1) будет выглядеть так

sinx : .

Поэтому изображающим или операторным уравнением будет уравнение

. (*)

По таблице оригиналов и изображений (табл.1) устанавливаем, что функция (*) является изображением функции xcosx с точностью до множителя (-1/2). Поэтому искомым решением исходной задачи Коши будет

.▲

4. Формула (61) для изображения решения принимает наиболее простой вид, когда мы имеем дело с нулевой задачей Коши, то есть искомое решение у = у(х) удовлетворяет нулевым начальным условиям

, (62)

В этом случае имеем

, (63)

и задача нахождения изображения сводится к задаче отыскания изображения правой части уравнения (54).

Запишем формулу (63) в виде

Таким образом, для получения изображения искомого решения достаточно умножить изображение правой части уравнения (54) на функцию

.

В результате получим

. (64)

Функция называется передаточной функцией уравнения (54).

Итак, воспользуемся формулой (64) для нахождения функции у(х). В этой формуле изображение представлено в виде произведения изображений. Поэтому можно воспользоваться теоремой свертывания оригиналов

÷ = у(х).

В нашем случае будем иметь

. (65)

Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Дюамеля. Он является решением задачи Коши (54), (62) в виде свертки оригиналов передаточной функции и правой части уравнения (54).

Решение уравнения (54) в случае, когда f(х)1 и нулевыми начальными условиями (62), получим . Отсюда вытекает, что . Поэтому интеграл Дюамеля можно записать в виде

. (66)

Здесь решение уравнения (54) с нулевыми начальными условиями (62) представлено в виде свертки решения уравнения с той же левой частью, но с правой частью, равной 1 (с теми же начальными условиями) и правой части уравнения (54).

Необходимо отметить, что оба выражения интеграла Дюамеля (65) и (66) дают решение задачи Коши (54), (62).

Пример 32. Найти решение уравнения: , удовлетворяющее начальным условиям: .

▲ Вначале найдем решение у₁(х) задачи , .

Составим операторное уравнение этой задачи, предварительно найдя изображения правой и левой частей уравнения :

у₁(х) : Y₁(p), : p²Y₁(p), : p Y₁(p), 1 : ,

.

Функция Y₁(p) имеет простые полюсы в точках p₀ =0, p₁ = -1, p₂ = -2. Используя вторую теорему разложения функций, получим

.

Поскольку , то

.

Для проверки полученного решения используем метод неопределенных коэффициентов.

1. Для правой части исходного уравнения определяем параметры q,l:  q = 0, l = 0.

2. Запишем характеристическое уравнение: и найдем его корни . Эти корни действительные и различные. Число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s=0, и m = max(q,l)= 0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

.

3. Подставляем в исходное уравнение выражения для у_ч(x) и ее производных

.

Таким образом, частное решение будет иметь вид

.

Выпишем общее решение исходного уравнения, которое представляет собой сумму решений: общего решения, соответствующего ему однородного уравнения, и в соответствие с корнями характеристического уравнения имеющего вид:

,

и частного решения исходного неоднородного уравнения: , а именно

.

Далее найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям, определив при этом значения произвольных постоянных :

Следовательно, общее решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, будет иметь вид:

.

Таким образом, методом неопределенных коэффициентов, мы получили тот же результат, что и при использовании для нахождения общего решения исходного уравнения интегралов Дюамеля.▲

5. Для нахождения частных решений неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами весьма удобен так называемый операторный метод.

Введем обозначения

. (67)

Пользуясь этими обозначениями, запишем уравнение

в виде

, (68)

где - называется операторным многочленом.

Подействовать операторным многочленом на некоторую функцию у это значит продифференцировать эту функцию столько раз, какова степень символа дифференцирования D, умножить на соответствующие постоянные a_i и результаты сложить, то есть совершить следующие операции: . Операторный многочлен с постоянными коэффициентами обозначается через F(D). Для него справедливы формулы:

(69)

Эти формулы дают возможность находить частные решения многих неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 33. Найти частное решение уравнения:

.

▲ Применяя операторный метод нахождения частного решения, запишем исходное уравнение в виде:

Далее, используя 5-ю формулу, получим:

.

Проверим полученное решение методом неопределенных коэффициентов.

1. Для правой части исходного уравнения определяем параметры q,l:  q = 0, l = 0.

2. Запишем характеристическое уравнение: и найдем его корни . Число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s=0, и m = max(q,l)=0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

.

3.Подставляем в исходное уравнение выражения для у_ч(x) и ее производных

.

Следовательно, частное решение будет иметь вид

.

Таким образом, мы получили решение совпадающее с решением, полученным операторным методом. ▲

Пример 34. Найти частное решение уравнения:

.

▲ Применяя операторный метод нахождения частного решения, запишем исходное уравнение в виде:

,

Далее, используя 7-ю и 8-ю формулы, получим частное решение исходного уравнения:

.▲

Если правая часть линейного уравнения с действительными коэффициентами является комплексной функцией действительного переменного, то есть уравнение имеет вид:

, (70)

то действительная часть u(x) решения y = u(x) + iv(x) этого уравнения удовлетворяет уравнению

, (71)

а комплексная часть v(x) решения y = u(x) + iv(x) удовлетворяет уравнению

, (72)

Действительно, подставляя в исходное уравнение (70) решение y=u(x) + iv(x), получим

, (73)

но из равенства комплексных чисел следует равенство действительных частей и равенство мнимых частей. Следовательно, можно записать

(74)

Пример 35. Найти решения уравнения: .

▲ Это уравнение можно представить в виде

.

Применим операторный метод для нахождения решений этого уравнения:

Следовательно, действительная часть этого решения является решением уравнения , а мнимая часть удовлетворяет уравнению .▲

Пример 36. Найти решения уравнения:

.

▲ Представим это уравнение в операторном виде: . Рассмотрим вместо этого уравнения другое:

.

Решив это вспомогательное уравнение и взяв действительную часть полученного решения, будем иметь решение исходного уравнения:

Следовательно, частным решением исходного уравнения будет

▲

Прием, который был использован в примере 36, может быть использован при интегрировании уравнений вида:

где А – постоянное, а оператор может содержать и нечетные степени D.

В первом случае мы рассматриваем вспомогательное уравнение

и берем действительную часть, а во втором случае рассматриваем то же самое вспомогательное уравнение, но берем уже мнимую часть решения.

Аналогично можно поступить и при интегрировании уравнений:

.

В этих случаях вспомогательное уравнение будет иметь вид:

,

причем действительную часть его решения будет удовлетворять первому из рассматриваемых уравнений, а мнимая часть будет удовлетворять второму уравнению.