4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
Для построения общего решения неоднородного линейного уравнения (27)
достаточно найти одно его частное решение у1 и присоединить к нему общее решение
,
соответствующего ему однородного уравнения
.
Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения в области (36) имеет вид:
. (37)
Все решения неоднородного линейного уравнения (27) содержатся в формуле (37).
Если правая часть уравнения (27) состоит из нескольких слагаемых
, (38)
то его частное решение будет равно сумме частных решений
(39)
уравнений с той
же левой частью и правой частью, равной
каждому из слагаемых
в отдельности
Если известно одно
частное решение
однородного уравнения (27), то можно с
помощью замены
,
(40)
где z – неизвестная функция, понизить его порядок, а следовательно, и порядок соответствующего ему неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (п – 1)-го порядка относительно z также является линейным.
Пример 20.
Найти общее решение уравнения:
,
если известно одно его частное решение
.
▲ На этот раз, в
отличие от примера 18, воспользуемся
формулой (40). Произведем замену
;
тогда вычислив производные
и подставив их в исходное уравнение, получим уравнение
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
,
которое совпадает с выражением общего решения примера 19. ▲
Для нахождения
общего решения неоднородного уравнения
обычно применяют метод
вариации произвольной постоянной
или как его еще называют метод
Лагранжа.
Этот метод показывает, что решение
неоднородного уравнения сводится по
сути дела к решению соответствующего
ему однородного уравнения, т.к. зная
фундаментальную систему решений
однородного уравнения можно найти
частное решение у неоднородного уравнения
в виде:
, (41)
где - некоторые непрерывно дифференцируемые функции от х, которые необходимо определить. Эти функции можно найти из следующей системы:
(42)
Определитель
этой системы представляет собой
определитель Вронского для системы
решений
,
который отличен от нуля при любом
значении х
из интервала [a,b].
Поэтому
система
(42) дает
единственное решение относительно
при
любом значении х
из интервала [a,b]:
откуда
.
(43)
Подставляя значения в формулу (41), получим искомое частное решение неоднородного линейного уравнения (27).
Для уравнений второго порядка вида
система (42) имеет вид
Решение этой системы можно найти по формулам
.
Следовательно,
зная выражения для
можно сразу записать вид общего решения
исходного неоднородного уравнения 2-го
порядка:
,
где W(y1, y2) – вронскиан решений y1 и y2 однородного уравнения, соответствующего исходному неоднородному уравнению.
Пример 21. Найти общее решение уравнения:
.
▲В примере 19 было найдено общее решение однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению
.
Поэтому в соответствии с правилом построения частного решения по методу Лагранжа, представим частное решение исходного уравнения в виде (41)
.
Далее составим систему (42)
.
Разрешая
эту систему относительно
,
получим
Следовательно, частное решение исходного уравнения будет иметь вид:
.
Это же решение можно получить, если использовать формулу
,
с учетом того, что
,
частное решение имеет вид:
.▲