3.5. Уравнения, приводимые к виду

Если путем алгебраических преобразований дифференциальное уравнение вида (24)

можно привести к виду

,

то интегрированием его порядок можно понизить на единицу:

,

где - известная функция.

Пример 17. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Поделив обе части этого уравнения на , получаем

.

Интегрируя, находим

.

Умножив обе части этого уравнения на , снова получаем уравнение, обе части которого являются полными производными:

.

Проинтегрировав это уравнение, имеем

,

разделяя переменные

и интегрируя, окончательно получаем

При делении на мы потеряли решение . Следовательно, , где , также будет решением исходного уравнения. ▲

Задания для самостоятельной работы

Проинтегрировать уравнения и, где указано, найти решения, удовлетворяющие начальным условиям.

11. . 12. . 13. .

14. . 15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям

28. .

29. .

30. .

4. Линейные уравнения высших порядков

4.1. Введение

4.1.1. Однородное уравнение

Линейным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

, (26)

где все непрерывные на некотором отрезке [a,b] функции. Считая можно разделив уравнение (26) на и вводя новые обозначения

,

представить уравнение (26) в виде:

. (27)

Если при всех значениях х функция f(x) равна нулю, то уравнение (27) будет называться однородным линейным уравнением

, (28)

в противном случае – неоднородным линейным уравнением.

Левая часть уравнения (28) может обозначаться кратко через линейный дифференциальный оператор -. Тогда уравнение (28) можно записать в виде

(28^′ )

Поскольку коэффициенты уравнения (26) являются непрерывными на отрезке [a,b] функциями, то и коэффициенты уравнения (27) также будут непрерывными на отрезке [a,b] функциями. Тогда уравнения (26) и (27) будут иметь единственное решение у = у(х), определенное во всем интервале [a,b] и удовлетворяющее начальным условиям:

, (29)

причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, а х₀ нужно брать из интервала [a,b].

Всякое решение линейного уравнения является частным решением и особых решений оно не имеет. Кроме того, однородное линейное (28) уравнение всегда имеет нулевое решение и оно удовлетворяет нулевым начальным условиям

, (30)

причем других решений с такими же начальными условиями, нет.

Для построения общего решения однородного линейного уравнения (28) достаточно знать п линейно независимых в интервале [a,b] частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

a < x < b,

где - постоянные числа, может выполняться только в том случае, когда . Такая система решений называется фундаментальной. Для того, чтобы система решений была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы решения были линейно независимыми, а также ее определитель, который называется определителем Вронского или вронскианом

, (31)

должен быть отличным от нуля хотя бы в одной точке из интервала [a,b].

Пример 18. Дано уравнение: . Составляют ли фундаментальную систему решений функции , являющиеся решениями этого уравнения?

▲ Фундаментальная система решений должна состоять из линейно независимых решений исходного уравнения. Поэтому необходимо выяснить являются ли функции линейно независимыми. Для этого вычислим вронскиан:

.

Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, функции являются линейно зависимыми, а поэтому они не могут составлять фундаментальную систем. Таким образом, составить общее решение по этим частным решениям нельзя. ▲

Вронскиан п решений однородного линейного уравнения п-го порядка связан с первым коэффициентом уравнения (28) формулой Остроградского – Лиувилля:

. (32)

Формула Остроградского-Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного уравнения второго порядка вида

, (33)

если известно одно нетривиальное решение этого уравнения . Согласно формуле Остроградского-Лиувилля любое решение этого уравнения второго порядка должно быть также решением уравнения

Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Умножая на , получим

или

. (34)

Пример 19. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .

▲ По формуле (34) находим

.▲

Фундаментальная система решений однородного уравнения (28) называется нормированной в точке х = х₀, если эти решения удовлетворяют соответственно следующим начальным условиям:

при х = х₀.

Если найдена фундаментальная система решений однородного уравнения (28), то формула

, (35)

где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области

a < x < b, < +, < +, …, < +. (36)

Все решения уравнения (28) содержаться в формуле (35).