Задания для самостоятельной работы
Проинтегрировать уравнения и, где указано, найти решения, удовлетворяющие начальным условиям.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
-
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
3.1. Уравнения вида
Если дифференциальное уравнение имеет вид
,
то его порядок можно понизить с помощью подстановки
.
Действительно, тогда получим уравнение
,
порядок которого на k единиц меньше исходного уравнения.
Пример 13.
Найти решение уравнения:
.
▲ Сделаем замену
, и
вычислим EMBED Equation.3
тогда исходное уравнения будет иметь
вид:
.
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
,
интегрируя его, находим
,
откуда
или
.
Далее дважды интегрируем последнее уравнение, получаем:
.▲
3.2. Уравнение вида
Порядок дифференциального уравнения вида
(22)
может быть понижен,
если ввести замену
,
где
-
новая неизвестная функция, а переменная
у является аргументом.
Вычислим производные
подставляя производные в исходное уравнение (22) мы получаем уравнение (n – 1)-го порядка с искомой функцией р от независимой переменной у.
Принимая у за независимую переменную. Мы могли потерять решение вида y = const. Непосредственной подстановкой y = b в уравнение (22) можно выяснить, имеет ли оно решение такого вида.
Пример 14.
Проинтегрировать уравнение:
.
▲ Сделаем замену
и приняв у за новую переменную,
получим
,
тогда исходное уравнение можно записать в виде:
Для того чтобы
решить это уравнение предположим, что
,
тогда
.
Следовательно, получаем уравнение
,
которое является неоднородным линейным уравнением 1-го порядка. Для его решения воспользуемся формулой Эйлера:
.
Следовательно,
,
откуда находим
.
Интегрируя это уравнение, получаем
.
Функция у = 0 также будет решением исходного уравнения и притом частным. ▲
3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
Если дифференциальное
уравнение вида
является однородным относительно
искомой функции и ее производных, т.е.
справедливо тождество:
, (23)
то порядок уравнения можно понизить на единицу, положив
Действительно,
последовательно дифференцируя соотношение
,
имеем:
где
-
известная функция.
Далее, подставив значения производных в уравнение (23) и используя однородность функции F, получаем:
.
Правая часть
тождества представляет собой уже
уравнение
-го
порядка. Если мы найдем его общее решение
,
то, заменив z
на
,
получим
.
Интегрируя это уравнение, имеем
.
Это общее решение исходного уравнения (23).
Пример 15. Найти общее решение уравнения:
.
▲ Введем подстановку
и вычислим вторую производную
.
Подставив в исходное уравнение, получим
,
сократив на
,
будем иметь:
,
или
.
Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим:
.
Далее с учетом
того, что
,
будем иметь
.
Интегрируя это уравнение, получим
.
Это общее решение исходного уравнения. ▲
3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
Дифференциальное уравнение вида
, (24)
называется обобщенно однородным, если функция F удовлетворяет тождеству
Если уравнение (24) обобщенно однородное, то замена переменных
, (25)
приводит к уравнению, явно не содержащему независимую переменную t. Следовательно, порядок такого уравнения можно понизить. Вычислим производные
Подставляя
значения этих производных в уравнение
(24) и пользуясь обобщенной однородностью,
получаем:
Пример 16.
Найти общее решение уравнения:
.
▲ Проверим исходное
уравнение на обобщенную однородность.
С этой целью вместо переменных
подставим в выражение для функции
соответственно
и, если это возможно, подберем значение
t таким образом, чтобы
выполнялось тождество
.
Очевидно, что это
тождество выполняется при t=1/2
.
Следовательно, исходное уравнение
представляет собой обобщенно однородное
уравнение, и поэтому для его решения
воспользуемся заменой (25)
.
Далее вычислим производные в новых переменных
Подставим значения этих производных, а также х и у в исходное уравнение. После преобразований придем к уравнению:
.
Это уравнение явно
не содержит переменную t,
поэтому посредством замены
понизим его порядок на единицу:
.
Проинтегрировав последнее уравнение, находим
,
т.к.
,
то
.
Интегрируя это уравнение, находим
,
откуда
.
Таким образом, окончательно получаем решение исходного уравнения в параметрической форме:
.▲