2.2. Дифференциальное уравнение вида

Дифференциальное уравнение вида можно проинтегрировать, используя для этого замены

. (10)

Далее принимая во внимание, что

,

найдем:

. (11)

Функцию у можно найти из уравнения способом, описанным в п. 2.1.

Пример 7. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Это уравнение вида при п = 3. Следовательно, можем ввести замены:

,

откуда . Интегрируя последнее уравнение, находим:

.

Для получения функции у воспользуемся уравнением . Тогда , откуда

.

Интегрируя еще раз, получим:

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения, представленное в параметрической форме имеет вид:

.▲

Для решения уравнения вида можно применить и другой способ, заключающийся в том, что вводится новая функция от х: , согласно формулы . После ее подстановки исходное уравнение приводится к уравнению 1-го порядка:

,

разрешая которое, находим . Функция у находится из уравнения последовательным интегрированием.

Пример 8. Найти общее решение уравнения: .

▲ Это уравнение вида . Полагая в нем , получим уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными:

,

общее решение которого имеет вид:

.

Следовательно ▲

2.3. Дифференциальные уравнения вида

Пусть заданные функции удовлетворяют уравнению вида . Тогда уравнение вида можно проинтегрировать. Действительно, имеем,

(12)

или, если ввести обозначение , то

. (13)

Из первого уравнения находим

(14)

Используя второе уравнение, получаем

. (15)

Если положить , то предыдущее уравнение примет вид уравнения Бернулли

, (16)

которое с помощью подстановки сводится к неоднородному линейному уравнению:

. (17)

Выписать решение этого уравнения можно, используя формулу Эйлера:

. (18)

Далее, используя , найдем . После чего, подставив в , мы сможем найти х:

. (19)

Для получения функции интегрируем раза уже известным способом уравнение .

Таким образом, получаем общее решение рассматриваемого уравнения в параметрической форме.

Пример 9. Найти общее решение уравнения: .

▲ Это уравнение вида при п = 2. Используя замену (12) будем иметь:

где . Тогда уравнение (16) принимает вид

,

где , и, которое можно свести к линейному уравнению с помощью замены :

Для решения этого неоднородного линейного уравнения воспользуемся формулой Эйлера (18):

,

откуда

.

Поскольку , то можно найти х:

.

Полученная функция х будет иметь разные значения в зависимости от значения произвольной постоянной С₁. Например, если С₁ > 0, то

,

если С₁ < 0, то

,

если С₁ = 0, то

Функцию у найдем из уравнения с учетом того, что ,

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения в параметрической форме будет иметь вид:

.▲

2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная

Если в уравнении

(20)

левая часть является точной производной от некоторой функции , т. е.

то

(21)

будет первым интегралом уравнения (20). В ряде случаев может случится так, что уравнение (21) также будет уравнением в точных производных. Тогда найдем второй интеграл уравнения (20).

Пример 10. Найти общий интеграл уравнения: .

▲ Так в левой части у каждой из дробей в числителе стоит производная от знаменателя, то можно исходное уравнение записать в виде:

.

Мы видим, что полученное уравнение является уравнением в точных производных, и оно имеет первый интеграл

или .

Интегрируя это уравнение, найдем

.

Это есть общий интеграл исходного уравнения. ▲

Если уравнение (20) не является уравнением в точных производных, то можно подобрать такую функцию , после умножения на которую, уравнение (20) становится уравнением в точных производных.

Пример 11. Рассмотрим уравнение из примера 9.

▲ Если помножить это уравнение на , то получим

.

Из этого уравнения видно, что его правая и левая части есть точные производные

,

откуда интегрированием можно найти

или

.

Интегрируя это уравнение получим при разных значениях С₁ решение исходного уравнения в явном виде. Например, если С₁ > 0, то

,

если С₁ < 0, то

,

если С₁ = 0, то

.▲

Пример 12. Найти решение уравнения: .

▲ Если умножить обе части этого уравнение на , то получим

.

Из этого уравнения видно, что его правая и левая части есть точные производные

,

поэтому, интегрируя это уравнение, находим:

.

Из уравнения выразим:

. ()

Далее предположим, что , а . Из первого уравнения найдем:

.

Подставив полученное уравнение, а также уравнение в (), получим:

.

Из уравнения найдем

с учетом того, что , окончательно можно записать общее решение исходного уравнения:

.▲