10. Теория конечных автоматов

10.1. Определение конечного автомата

Теория автоматов лежит в основе теории построения компиляторов. Конечный автомат - одно из основных понятий. Под автоматом подразумевается не реально существующее техническое устройство, хотя такое устройство может быть построено, а некоторая математическая модель, свойства и поведение которой можно иммитировать с помощью программы на вычислительной машине. Конечный автомат является простейшей из моделей теории автоматов и как правило служит управляющим устройством для всех остальных видов автоматов. Конечный автомат обладает рядом свойств:

конечный автомат может решать ряд легких задач компиляции. Лексический блок почти всегда строится на основе конечного автомата.
работа конечного автомата отличается высоким быстродействием.
моделирование конечного автомата требует фиксированного объема памяти, что упрощает управление памятью.
существует ряд теорем и алгоритмов, позволяющих конструировать и упрощать конечные автоматы.

В литературе существует несколько отличных определений конечного автомата. Однако, общим в них является то, что конечный автомат моделирует вычислительное устройство с фиксированным объемом памяти, которое читает последовательности входных символов, принадлежащие некоторому входному множеству. Принципиальные различия в определениях связаны с тем, что автомат делает на выходе. Выходом автомата может быть указание на то « допустима » или нет данная входная цепочка. « Допустимой » называется правильно построенная или синтаксически правильная цепочка. Например, цепочка, которая должна изображать числовую константу, считается построенной неправильно, если она содержит две десятичные точки.

Определение: Конечный автомат - это формальная система, которая задается с помощью следующих объектов [10]:

конечным множеством входных символов;
конечным множеством состояний;
функцией переходов, которая каждой паре ( текущее состояние, входной символ) ставит в соответствие новое состояние;
начальным состоянием;
подмножеством состояний , выделенных в качестве допускающих или заключительных.

Пример. Разберем работу контроллера, проверяющего четно или нечетно число единиц в произвольной цепочке, состоящей из нулей и единиц. Допустим, что соответствующий конечный автомат должен « допускать» все цепочки, содержащие нечетное число единиц и « отвергать » цепочки с четным их числом. Назовем этот автомат « контроллером четности ». Считаем, что символы, отличные от 0 и 1 нельзя подавать на вход автомата. Итак, входной алфавит контроллера есть множество {0, 1} . Считаем, что в конкретный момент времени конечный автомат имеет дело лишь с одним входным символом, а информацию о предыдущих символах входной цепочки сохраняет с помощью конечного множества состояний. В качестве множества состояний будем рассматривать множество { чет, нечет }, одно из этих состояний должно быть выбрано в качестве начального. Пусть им будет состояние {чет}, поскольку на первом шаге число прочитанных единиц равно нулю, а нуль есть четное число. При чтении очередного входного символа состояние автомата либо меняется, либо сохраняется прежним причем новое его состояние зависит от входного символа и текущего состояния. Такое изменение состояния называется переходом.

Работа автомата может описываться математически функцией переходов вида ( Sтек., x ) = Sнов. Иначе это можно записать следующим образом:

 ( чет., 0) = чет.  ( чет., 1) = нечет.

 ( нечет., 0) = нечет.  ( нечет., 1) = чет.

Контроллер имеет единственное допускающее состояние НЕЧЕТ, а ЧЕТ есть « отвергающее » состояние. Отразим последовательность переходов автомата при подаче на его вход цепочки 1101.

ЧЕТ  НЕЧЕТ  ЧЕТ ЧЕТ НЕЧЕТ