Довірчі оцінки. Критерій значущості 2

Метод найменших квадратів або комп’ютерний розрахунок дозволяють знайти коефіцієнти _i в рівнянні (1). Проте‚ вони нічого не говорять про точність або до­сто­вірність оцінок, зроблених таким чином. Методи математичної статистики дають мож­ли­вість кількісно оцінити‚ наскільки вірною була висунута гіпотеза‚ тобто за­про­по­но­ва­на експериментатором інтерпретація отриманих результатів. Робиться це за до­по­мо­гою довірчих оцінок. Останні вказують кількість випадків (ймовірність р) знайти ве­ли­чину‚ що вимірюється‚ в серії однакових експериментів. Цими величинами може бути середнє значення‚ дисперсія‚ тобто будь-яка функція вибірки “випадкових” екс­пери­мен­тальних значень (наприклад R_і(T)).

Нехай ми висунули деяке припущення щодо істиної поведінки величини R в за­лежності від T‚ тобто ми висловили гіпотезу. Очевидно‚ що між експериментальними точ­ками та теоретичною кривою буде існувати деякий розкид. Справедливо запитан­ня — наскільки уваги треба йому приділяти? Наскільки істотними є спостережені роз­біж­ності? Чи не є вони передвісниками нового‚ невідомого ще явища? Очевидним рі­шен­ням проблеми є багатократне повторення експерименту. Проте‚ воно є дорогим‚ від­німає багато часу‚ а іноді просто неможливе. Дослідження цієї проблеми робиться за до­помогою критеріїв значущості.

Зрозуміло‚ що відносно однієї і тієї ж низки результатів можна висунути де­кіль­ка гіпотез. В тому числі‚ що теоретична крива проходить через усі точки. Формально‚ така крива найліпше задовольняє експериментальним результатам. Однак‚ здоровий глузд вказує‚ що це не так. До того ж‚ висновки математичної статистики‚ яку засто­со­вують при обробці результатів‚ справедливі в асимптотиці‚ тобто при великій кількості ступенів волі. Це означає, що кількість експериментальних точок має бути значно біль­шою‚ ніж степінь поліному n. Чим більше експериментальних точок‚ тим більше сту­пенів волі. Ступенем волі називається число, що дорівнює різниці між кількістю експе­ри­ментальних точок та кількістю параметрів‚ що необхідно встановити з експерименту. Наприклад‚ при числі експериментальних точок 2 можна одним єдиним чином про­вести пряму (встановити два параметри), 3 — параболу (встановити три параметри), тощо. В такому випадку число ступенів волі дорівнює 0. Проте із збільшенням числа експериментальних точок, з’являється вибір — зростає кількість ступенів волі. Чим біль­ше ступенів волі, тим достовірніше інтерпретація результатів експерименту. В кон­кретному випадку поліноміальної залежності‚ кількість ступенів волі має бути набагато більша за степінь полінома.

Корисним критерієм оцінки розбіжностей між теоретичною і експе­римен­таль­ною кривою є оцінка того‚ наскільки розкид задовольняє нормальному або Гаусовому розподілу (4). Принаймі‚ якщо дійсно має місце такий розкид‚ це дозволяє з чистим серцем облишити подальші пошуки невідкритих закономірностей. Мірою порівняння‚ очевидно‚ виступає точність‚ з якою вимірюються експериментальні точки, і яку можна (і необхідно!) оцінити з незалежних джерел — багатократних повторів вимірів, при­пу­сти­мих похибок приладів, тощо. В методі ² за таку міру приймається сума ква­дратів від­хилень від теоретичної залежності‚ від­не­сені до стандартної похибки данного виміру

(8)

За допомогою таблиці‚ що наведена в [1] і яку легко знайти в будь-якому мате­ма­тичному довіднику (наприклад [3])‚ для відповідного числа ступенів волі вста­нов­лю­є­ться ймовірність р знайти залежність‚ що припускається‚ в серії однакових екс­пе­ри­ментів. Детально робота з таблицею описано в [1].

При порівнянні з таблицею використовують таку термінологію. Якщо знайдена з досліду величина ² має спостерігатися в 1...5 % випадків‚ то відхилення експери­мен­таль­них точок від теоретичних є майже значні‚ якщо в 0,1...1%‚ то значні‚ якщо менше 0,1% — дуже значні (тобто теоретичній залежності нема віри). В останньому випадку треба шукати іншу теоретичну залежність, наприклад, підвищити степінь полінома. При ймовірності ² біль­ше 5% — експериментальних точок занадто мало‚ щоб від­ки­ну­ти гіпотезу. Це може означати, що гіпотеза вірна, а з іншого боку — що екс­пе­ри­мен­тальні точки недостатньо точні, і для підтвердження або спростування гіпотези треба виконати більш точні виміри.

Література

1. Лабораторные занятия по физике. / Под ред. Л. Л. Гольдина. — М.: Наука, 1983, п.п. 1-5, 7-9.

2. Зайдель А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений. — Л.: Наука, 1974.

3. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев Справочник по математике. — М: Наука, 1981, стр. 598 -613

Мета: аналіз залежності опору постійного струму в металевому дроті за температурою.

Устаткування:

муфельна піч, вольтметр універсальний, комп’ютер

Теоретичні основи експерименту

В якості функціональної залежності будемо вивчати залежність величини опору R провідника від температури T. За підігріву величина опору провідника в межах невеликого температурного інтервалу близько кімнатної температури змінюється з температурою за лінійним законом

R(T)=T + R0,

(9)

де R₀ — величина опору за кімнатної температури,  — коефіцієнт, що залежить від матеріалу провідника. В більш широких межах температурна залежність електроопору від температури описується іншою функцією, яку в випадку сплавів, що не зазнають фазових перетворень, з великою точністю можна зобразити в вигляді полінома n-тої степіні

R(T)= n T n + n—1 T n—1 + ...+ 1 T + R0.

(10)

В данній роботі буде аналізуватися поліноміальна залежність, з допомогою якої в фізиці часто интерпретують отримані результати. Треба зазначити, що і екс­по­нен­ціальну або логарифмічну залежність (наприклад у = ln (_n T ⁿ + _n—1 T ^n—1 + ...+ ₁ T + + R₀) можна просто привести до вигляду (10), відповідним чином вибравши осі гра­фіків. Зауважимо, що ми не розглядаємо значний клас функціональних залежностей осци­ляторного типу‚ коли кількість максимумів та мінімумів значно перебільшує 5-8, і для опису яких треба застосовувати апарат Фурьє-аналізу. Однак‚ і в цьому випадку ідеологія та навіть термінологія оцінки достовірності результатів лишається тією ж.

Перше, що необхідно визначити‚ це максимальну степінь n полінома‚ яким апро­ксимується експериментальна залежність. Якщо максимуми та мінімуми експе­ри­ментальної залежності виражені чітко, то n дорівнює кількості максимумів та мінімумів плюс один (поясніть чому). Якщо ж кількість їх не очевидна або затьмарюється ви­падковими відхиленнями, то встановити n можна “продиференціювавши” декілька разів експериментальну залежність. В ролі “похідної” в і-й точці буде виступати величина (R_i — R_i—1 ) / (T_i — T_i—1 ). Чергове диференціювання функції не має сенсу, коли розкид експериментальних точок буде перебільшувати характерні регулярні зміни функції. Або‚ коли випадкова складова n похідної від функції буде перебільшувати регулярну. Тоді n якраз і буде дорівнювати номеру похідної, вигляд якої ще не нагадує зоряне небо. Зауважимо, що розкид експериментальних точок збільшується в міру диференціювання (спробуйте показати це самостійно).