- •Робота 4.2. Знайомство з методами обробки експериментальних результатів на прикладі вивчення залежності електроопору від температури Теоретична довідка
- •Метод найбільшої правдоподібності. Метод найменших квадратів.
- •Довірчі оцінки. Критерій значущості 2
- •Експериментальні подробиці
- •Завдання
- •Обробка результатів експерименту
- •Контрольні запитання
Робота 4.2. Знайомство з методами обробки експериментальних результатів на прикладі вивчення залежності електроопору від температури Теоретична довідка
При проведенні будь-якого експерименту перед дослідником неодмінно постають запитання — яким чином можна інтерпретувати отримані дані, наскільки вони є достовірні і наскільки вірним є запропонований опис експериментальних результатів? Що стосується першого запитання, то тут на допомогу приходять попередні теоретичні уявлення або припущення, досвід експериментатора і неодмінно творчий підхід. Для вирішення двох інших розроблено багато математичних методів, які дозволяють кількісно оцінити достовірність отриманих даних.
Для визначеності будемо розглядати досить типову ситуацію, коли в результаті експерименту одержано досить багато експериментальних точок, які визначають деяку функціональну залежність (виключно для зручності одразу позначимо її, як залежність R(T)). Безумовно, ці точки знайдено з певними похибками, як систематичними, так і випадковими. Будемо вважати, що ми в змозі оцінити похибку для кожної точки. Спробуємо апроксимувати ці точки поліноміальною залежністю (принципово можливо узагальнити такий підхід на інший вид функції). Будемо вважати, що апріорі ми не знаємо, якої степені має бути цей поліном. Фактично ми маємо незалежні задачі:
-
Визначити степінь полінома, яким можна апроксимувати отримані експериментальні дані (в загальному випадку — визначити вид апроксимуючої функції).
-
Знайти коефіцієнти полінома, які забезпечують найкращу апроксимацію (в загальному випадку — якісь чисельні параметри функції).
-
Визначити ймовірність того, що знайдена нами апроксимація коректна.
Апроксимація експериментальнх точок, що знайдені з похибками, фактично означає, що ми маємо виділити так звану регулярну складову — власне апроксимуючу функцію,— причому кожна точка буде відхилятись від неї на величину відповідної випадкової похибки. Для будь-якого і-того виміру отримане нами значення має вигляд
Rі(T)= n T n + n—1 T n—1 + ...+ 1 T + 0 + Rі(T), |
(1) |
де Rі(T) називається випадковою складовою і є випадковою функцією T. В більшості випадків можна вважати, що вона розподілена за Гаусовим законом з нульовим середнім та дисперсією . Останнє є одним з важливих припущень теорії вимірів, яке добре зарекомендувало себе на практиці.
Метод найбільшої правдоподібності. Метод найменших квадратів.
Досліджувана нами величина R за визначеного значення T є випадковою величиною, яка зкладається з регулярної та випадкової складової. Отже, формально Rі можна вважати функцією коефіцієнтів в рівнянні (1).
Rі(T)= Rі(T) — (n T n + n—1 T n—1 + ...+ 1 T + 0). |
(2) |
Припустимо, що необхідно для обраної функції (в нашому випадку — для поліному заданої степіні) найбільш ефективно оцінити систему параметрів і. Метод найбільшої правдоподібності дозволяє розв’язати цю проблему. Цей метод полягає в тому, що для набору випадкових величин Rі будується функція правдоподібності L, яка є ймовірностю отримати на експерименті саме цей набір значень Rі(Ti) для обраної функції R(T).
Якщо величини Rі незалежні одна від одної (це дуже суттєве обмеження, яке на практиці може і не виконуватись), функція правдоподібності L дорівнюватиме добутку ймовірностей p(Rі):
L = p(Rn) p(Rn -1)...p(R1), |
(3) |
де n — кількість експериментальних точок. За умов нормального розподілу Rі
(4) |
і функція правдоподібності дорівнює
, |
(5) |
де рi(0)=p0 і 2 (дисперсія величини R) вважаються однаковими для кожного виміру.
Методами математичної статистики показується, що найбільш правдоподібна оцінка системи параметрів і відповідає максимуму функції правдоподібності (максимальна ймовірність), тобто із умов
L/і = 0, i= 0, 1, 2, ..., n‚ |
(6) |
або‚ оскільки логарифм є монотоннoю функцією аргументу‚ іноді використовують оцінку
lnL / і = 0, i = 0, 1, 2, ..., n. |
(7) |
Виражаючи (3) через (2) та підставляючи в (7) отримуємо систему лінійних рівнянь, які легко розв’язуються методами алгебри або аналітично на комп’ютері (пропонуємо вивести самостійно системи рівнянь). Як видно з (4), за умови нормального розподілу величини Rі з нульовим середнім максимум функції правдоподібності має місце за умови мінімуму величини , тобто працює окремий випадок метода найбільшої правдоподібності — метод найменших квадратів, який ретельно описано в [1].