Используемые обозначения

^{Нагрузки}:

– сосредоточенная сила, кН;

– сосредоточенная пара сил (момент), кНм;

– интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

– продольная ось стержня;

– главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

A – площадь поперечного сечения, см²;

S_y, S_z – статические моменты относительно осей , см³;

I_y, I_z – осевые моменты инерции относительно осей , см⁴;

I_p– полярный момент инерции, см⁴.

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

Q_y , Q_z , (Q) – поперечные силы, кН;

M_y , M_z, (M) – изгибающие моменты кНм;

M_к – крутящий момент, кНм.

Напряжения:

() – нормальные напряжения, МПа;

() – касательные напряжения, МПа;

(_гл) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

, () – относительные линейные деформации;

() – угловые деформации (углы сдвига);

– абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (пере-мещение точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см;

 – угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;

 – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:

_пц – предел пропорциональности, МПа;

_т – предел текучести, МПа;

_в – временное сопротивление (для хрупких материалов – предел прочности при растяжении, – предел прочности при сжатии), МПа;

[], [] – допускаемые напряжения, МПа;

E – модуль упругости, МПа;

 – коэффициент Пуассона;

– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

4. Изгиб Основные понятия и формулы

Изгиб – такой вид деформации стержня, при котором его ось искривляется. Стержень, подверженный изгибу, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90, называется рамой. В данном разделе рассматриваются балки и рамы, подверженные плоскому поперечному изгибу. В этом случае вся нагрузка приложена перпендикулярно оси стержня в одной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии поперечного сечения; изогнутая ось является плоской кривой. При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.

Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента зависят от вида рассматриваемой конструкции (прямолинейная балка, рама, криволинейный стержень) и приведены в соответствующих разделах.

Перед тем, как использовать метод сечений для определения внутренних усилий, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 4.1 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 4.1, б) и подвижной (рис. 4.1, в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 4.1, а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 4.1, б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис. 4.1, в).

Рис. 4.1. Опорные реакции:

а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре;

в – в шарнирно-подвижной опоре

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений. Подробно процесс определения внутренних усилий рассматривается при решении конкретных задач.

Когда внутренние усилия найдены, можно определить напряжения в поперечном сечении изгибаемого стержня. В произвольной точке поперечного сечения возникают нормальное и касательное напряжения, которые для прямолинейных стержней находятся следующим образом:

• нормальные напряжения в балке определяются по формуле¹

, (4.1)

где М – величина изгибающего момента в рассматриваемом сечении; z – координата той точки поперечного сечения, в которой определяется , в главной центральной системе координат; – осевой момент инерции относительно главной центральной оси y. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения показано на рис. 4.2, а. Ось y, на которой нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной осью;

• касательные напряжения определяются по формуле Журавского²:

. (4.2)

В формуле Журавского Q – значение поперечной силы в рассматриваемом сечении; – статический момент отсеченной части сечения, зависящий от того, в какой точке определяется касательное напряжение; b(z) – ширина сечения на уровне точки, в которой находится напряжение. Например, на рис. 4.2, б заштрихована отсеченная часть сечения и показана ширина b(z) при определении касательных напряжений в точках, удаленных от оси y на расстояние z.

Рис. 4.2. К определению напряжений при изгибе:

а – распределение нормальных напряжений по высоте балки;

б – определение отсеченной части сечения в формуле Журавского

Из формулы (4.1) следует, что максимальные нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от оси y (нейтральной оси). Для определения максимальных напряжений из формулы (4.1) можно получить

, (4.3)

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балок круглого и прямоугольного сечений моменты инерции и моменты сопротивления находятся по формулам

; ; (4.4)

; . (4.5)

Закон распределения касательных напряжений, определяемых по формуле Журавского, зависит от формы поперечного сечения. Для балок круглого и прямоугольного сечений касательные напряжения изменяются по высоте балок по закону квадратной параболы (рис. 4.3, а). Они равны нулю в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y, и максимальны в точках, лежащих на оси y. Из формулы (4.2) для балок круглого и прямоугольного сечений следуют формулы для определения максимальных касательных напряжений

; . (4.6)

Очень часто употребляемым сечением для балок является двутавр. Касательные напряжения в полках и стенках двутавровой балки распределяются по разным законам. Наиболее важными при проверке прочности являются касательные напряжения в стенке двутавра. На рис. 4.3, б показана эпюра распределения касательных напряжений в стенке двутавра. Максимальные касательные напряжения в двутавровой балке так же, как и в балках круглого и прямоугольного сечений, действуют в точках, лежащих на нейтральной оси y. Об определении касательных напряжений в двутавре подробно будет сказано при решении задачи о проверке прочности двутавровой балки.

Рис. 4.3. Распределение касательных напряжений по высоте:

а – балок круглого и прямоугольного сечений;

б – двутавровой балки

Рис. 4.4. "Балочное"

напряженное

состояние

Основной задачей расчета конструкций является обеспечение их прочности. Известно, что условие прочности в точке тела зависит от материала и от вида напряженного состояния в этой точке. Напряженное состояние произвольной точки стержня при изгибе (балки) показано на рис. 4.4. Назовем такое напряженное состояние "балочным". Это частный случай плоского напряженного состояния, которое отличается от общего случая отсутствием на площадках, перпендикулярных оси z, нормальных напряжений. Для "балочного" напряженного состояния из теорий прочности получены частные формулы проверки прочности. Для хрупких материалов справедливы:

• вторая теория прочности

; (4.7)

• теория Мора ()

; (4.8)

для пластичных материалов используются

• третья теории прочности

; (4.9)

• четвертая теория прочности

. (4.10)