
- •Часть 1
- •Часть 1
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •1. Растяжение-сжатие
- •Основные понятия и формулы
- •1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
- •1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи
- •Решение
- •1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3) Условие задачи
- •Решение
- •1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем Основные определения
- •Решение
- •1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5) Условие задачи
- •Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.
- •Решение
- •Часть 1. Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:
- •1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6) Условие задачи
- •В задаче № 6
- •Решение
- •2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния
- •Основные понятия и формулы
- •Решение
- •Условия задачи Решение
- •Условие задачи
- •Решение
- •3. Кручение
- •Основные понятия и формулы
- •Решение
- •3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11) Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 1
1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
Статически определимая стержневая система – это конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает одно внутреннее усилие – продольная сила N.
Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием такой эксплуатации является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1, § 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:
,
(1.5)
где
– максимальное напряжение в конструкции,
вычисляемое с помощью формулы (1.1);
–допускаемое напряжение которое
находится по формуле
.
(1.6)
В формуле (1.6)
– предельное напряжение, которое
является характеристикой материала.
При достижении такого уровня напряжения
в материале стержня наступает предельное
состояние: появляются пластические
деформации, если материал пластичный,
или происходит разрушение, если материал
хрупкий. n –
нормируемый коэффициент запаса прочности.
Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант записи условия прочности
,
(1.7)
где
(1.8)
называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал оказался в опасном (предельном) состоянии.
Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям таков:
-
находим внутренние усилия (продольную силу при растяжении-сжатии);
-
определяем напряжения и выявляем опасные сечения;
-
вычисляем максимальные напряжения в опасных сечениях и используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии).
Из условия прочности:
-
либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. допускаемую нагрузку – максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;
-
либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.
Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.
Примеры решения задач
1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного
растяжению-сжатию (задача № 1)
Условие задачи
Стержень переменного сечения с заданным
отношением площадей
подвержен действию нагрузок, показанных
на рис. 1.3, а.
Цель расчета – подобрать площади сечений
так, чтобы на каждом участке соблюдалось
условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом
должно выполняться заданное отношение
площадей.)
Решение
Определяем продольную силу и строим эпюру N. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:
.
Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке:
на первом участке
)
;
на втором участке
;
на третьем участке
.
Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке – силы, находящиеся справа от сечения.
Рис. 1.3. К решению
задачи № 1:
а
– схема нагрузки на стержень;
б,
в –
эпюры продольной силы и напряжений
,
в конце второго участка
.
Аналогично для третьего участка
,
.
По полученным точкам строим эпюру N.
На рис. 1.3, б эпюра N построена
для следующих исходных данных:
м,
м; F1 = 10 кН, F2 = 40 кН,
q1 = 15 кН/м, q2 = 20 кН/м.
Зная продольную силу, по формуле (1.1)
находим напряжения в стержне и строим
эпюру распределения напряжений по длине
стержня (рис. 1.3, в). Для этого
площади сечений на всех участках выразим
через одну неизвестную величину
,
используя заданное отношение площадей.
Заметим, что на эпюре продольных сил
скачки (т. е. резкие изменения усилий
при переходе в соседнее сечение) имеют
место под сосредоточенными силами на
величину этих сил, на эпюре напряжений
скачки появляются также и в местах
изменения поперечного сечения.
Для подбора сечения по эпюре напряжений
выбираем опасные сечения с максимальными
напряжениями. Причем для хрупких
материалов важным является не только
абсолютное значение напряжения, но и
его знак. Более опасным является
растягивающее напряжение, так как
разрушающее напряжение при растяжении
хрупкого материала много меньше, чем
при его сжатии. Например, на эпюре
,
показанной на рис. 1.3, в, опасным
является не только сечение в начале
третьего участка
,
где действуют максимальные сжимающие
напряжения, но и сечение в конце третьего
участка
с максимальными растягивающими
напряжениями. Таким образом, для стержня,
показанного на рис. 1.3, достаточно
проверить прочность в трех опасных
сечениях:
для чугунной части
,
откуда
,
и
;
для стальной части
,
тогда
.
Из трех значений A1, найденных
из условий прочности в опасных сечениях,
выбираем то, которое удовлетворяет всем
условиям (то есть максимальное их всех
найденных значение
.
Величину А2 находим по заданному
соотношению:
.
Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.